円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=5$, $BC=3$, $CD=5$, $\angle B = 120^\circ$ であるとき、以下の値を求めよ。 (1) $AC$ (2) $AD$ (3) 円の半径 $R$ (4) $\triangle ACD$ の内接円の半径 $r$

1. 問題の内容

円に内接する四角形 $ABCD$ において、$AB=5$, $BC=3$, $CD=5$, $\angle B = 120^\circ$ であるとき、以下の値を求めよ。

(1) $AC$

(2) $AD$

(3) 円の半径 $R$

(4) $\triangle ACD$ の内接円の半径 $r$

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ$

$AC^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 34 + 15 = 49$

$AC = 7$

(2) 円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ なので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle ACD$ において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D$

$7^2 = AD^2 + 5^2 - 2 \cdot AD \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$

$49 = AD^2 + 25 - 10 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$

$AD^2 - 5AD - 24 = 0$

$(AD - 8)(AD + 3) = 0$

$AD > 0$ より、 $AD = 8$

(3) $\triangle ABC$ において、正弦定理より

$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$R = \frac{AC}{2\sin B} = \frac{7}{2\sin 120^\circ} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) $\triangle ACD$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin D = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$\triangle ACD$ の内接円の半径 $r$ は、

$S = \frac{1}{2}r(AC + CD + DA)$

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(7 + 5 + 8)$

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}r(20)$

$10\sqrt{3} = 10r$

$r = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 7$

(2) $AD = 8$

(3) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) $r = \sqrt{3}$