三角形ABCにおいて、AB=3, BC=5, CA=7とする。三角形ABCの外接円をOとする。点Aを通り辺BCに平行な直線と円Oとの交点のうち、AでないものをDとする。以下の値を求める問題です。 (1) $\cos \angle ABC$ (2) $\cos \angle ADC$ (3) 円Oの半径, 線分CDの長さ, 点Bから直線ADに下ろした垂線の長さ (4) 四角形ABCDの面積
2025/7/25
1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、AB=3, BC=5, CA=7とする。三角形ABCの外接円をOとする。点Aを通り辺BCに平行な直線と円Oとの交点のうち、AでないものをDとする。以下の値を求める問題です。
(1)
(2)
(3) 円Oの半径, 線分CDの長さ, 点Bから直線ADに下ろした垂線の長さ
(4) 四角形ABCDの面積
2. 解き方の手順
(1) を求める。余弦定理より、
(2) を求める。四角形ABCDは円に内接するので、より、。
したがって、
(3) 円Oの半径Rを求める。正弦定理より、
より、
(∵ は三角形の内角なので正)
よって、
次に、線分CDの長さを求める。ADとBCは平行であるから、四角形ABCDは等脚台形。したがって、CD = AB = 3。
次に、点Bから直線ADに下ろした垂線の長さを求める。AD//BCなので、。また、。
において、
したがって、
点BからADに下ろした垂線の足をHとする。
において、。ここで。
よって、
(4) 四角形ABCDの面積を求める。
四角形ABCDの面積 =
AD=BC=5のとき、面積は0になるので違う。
であるから、弧ABに対する円周角は等しいのでAB = CD = 3である。
また、AD = BC = 5。
よって、四角形ABCDの面積 =
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3) , 3,
(4)
1
3. ア
1
4. エ
1
5. ウ
1
6. エ
1
7. ウ
1