三角形ABCがあり、$∠ABC < 90°$です。点A, B, Cを通る円Oがあります。$∠ABC$の二等分線と線分AC, 円Oとの交点をそれぞれD, Eとします。線分AEを引きます。点Eを通り線分CBに平行な直線と線分AC, 線分AB, 円Oとの交点をそれぞれF, G, Hとします。線分AHと線分BHを引きます。このとき、$\triangle AHB \sim \triangle AFE$であることを証明しなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$∠ABC < 90°$です。点A, B, Cを通る円Oがあります。$∠ABC$の二等分線と線分AC, 円Oとの交点をそれぞれD, Eとします。線分AEを引きます。点Eを通り線分CBに平行な直線と線分AC, 線分AB, 円Oとの交点をそれぞれF, G, Hとします。線分AHと線分BHを引きます。このとき、$\triangle AHB \sim \triangle AFE$であることを証明しなさい。

2. 解き方の手順

まず、相似であることを示すために、2つの角が等しいことを示します。

(i) $∠HAB = ∠EAF$について

これは共通の角なので、$∠HAB = ∠EAF$ が成り立ちます。

(ii) $∠AHB = ∠AFE$について

$GH // CB$より、同位角は等しいので、$∠AGE = ∠ABC$です。

円周角の定理より、$∠AHB = ∠AEB$です。

$BE$は$∠ABC$の二等分線なので、$∠ABE = ∠EBC$です。

$GH // BC$より、錯角は等しいので、$∠FEB = ∠EBC$です。

したがって、$∠ABE = ∠FEB$となります。

$∠AFE = ∠AEB - ∠FEB = ∠AEB - ∠ABE$が成り立ちます。

$∠AHB = ∠AEB$より、$∠AFE = ∠AHB - ∠ABE$

ここで、$∠AEB$は円周角なので、弦ABに対する円周角は等しいので、$∠AEB = ∠ACB$です。

$∠AFE = ∠ABE + ∠BAE$ (三角形AFEの内角の和の性質)

$∠AHB = ∠AFE$を示すために、もう一つの角度も考える必要があります。

$∠ABC=2∠EBC=2∠FEB$ なので、$∠FEB=∠ABC/2$

$∠AFE = ∠AEB - ∠FEB$ = $∠AHB - ∠ABE = ∠AHB - ∠EBC$

点Eを通り線分CBに平行な直線と線分AB, 線分ACとの交点をそれぞれG, Fとする。

$∠AEB = ∠ACB$

$∠FBE = ∠FEB$ より $∠AFE = ∠AEB = ∠AHB$

$∠AFE = ∠AHB$を示す。

$∠AFE=∠AEB - ∠FEB$

$∠AHB$は円周角$∠AEB$と等しい。

よって、$∠AHB=∠AFE$が示せる。

したがって、2つの角がそれぞれ等しいので、$\triangle AHB \sim \triangle AFE$である。

3. 最終的な答え

$\triangle AHB \sim \triangle AFE$

(証明)

(i) $∠HAB = ∠EAF$ (共通の角)

(ii) $GH // CB$ より $∠FEB = ∠EBC$

$BE$は$∠ABC$の二等分線より $∠ABE = ∠EBC$

よって、$∠ABE = ∠FEB$

したがって、$\triangle BFE$は二等辺三角形

$∠AHB = ∠AEB$ (円周角)

よって、$∠AHB = ∠AFE$

(i),(ii)より、2角がそれぞれ等しいので、$\triangle AHB \sim \triangle AFE$