直線 $y = ax + b$ (ただし、$a > 0$, $b > 0$) を①、直線 $y = -\frac{1}{2}x - 1$ を②とします。 これらの2つのグラフが点Aで交わっています。点(2, 0)を通りy軸に平行な直線と、関数①および②との交点をそれぞれ点B, Cとします。点Aのx座標は-4、点Bのy座標は3です。このとき、次の問いに答えてください。 問1. 点Aの座標を求めてください。 問2. 関数①の $a$, $b$ の値を求めてください。 問3. 三角形ABCの内部にあるx座標とy座標がともに整数である点の個数を求めてください（ただし、三角形ABCの辺上の点は個数に含まないものとします）。

1. 問題の内容

直線 $y = ax + b$ (ただし、$a > 0$, $b > 0$) を①、直線 $y = -\frac{1}{2}x - 1$ を②とします。

これらの2つのグラフが点Aで交わっています。点(2, 0)を通りy軸に平行な直線と、関数①および②との交点をそれぞれ点B, Cとします。点Aのx座標は-4、点Bのy座標は3です。このとき、次の問いに答えてください。

問

1. 点Aの座標を求めてください。

問

2. 関数①の $a$, $b$ の値を求めてください。

問

3. 三角形ABCの内部にあるx座標とy座標がともに整数である点の個数を求めてください（ただし、三角形ABCの辺上の点は個数に含まないものとします）。

2. 解き方の手順

問1: 点Aの座標を求める

点Aは直線②上にあるので、x座標が-4のとき、y座標は

$y = -\frac{1}{2}(-4) - 1 = 2 - 1 = 1$

したがって、点Aの座標は(-4, 1)です。

問2: 関数①のa, bの値を求める

点A(-4, 1)は直線①上にあるので、 $1 = -4a + b$ が成り立ちます。

点Bは直線①上にあるので、点Bのx座標は2であり、そのy座標は3なので、$3 = 2a + b$ が成り立ちます。

この連立方程式を解きます。

$1 = -4a + b$

$3 = 2a + b$

2つの式の差をとると、 $-2 = -6a$ となるので、$a = \frac{1}{3}$ です。

$3 = 2a + b$ に $a = \frac{1}{3}$ を代入すると、$3 = \frac{2}{3} + b$ となり、$b = \frac{7}{3}$ です。

したがって、$a = \frac{1}{3}$、 $b = \frac{7}{3}$ です。

問3: 三角形ABCの内部にあるx座標とy座標がともに整数である点の個数を求める

点Aの座標は(-4, 1)です。

点Bの座標は(2, 3)です。

点Cは直線②上にあるので、x座標が2のとき、y座標は

$y = -\frac{1}{2}(2) - 1 = -1 - 1 = -2$

したがって、点Cの座標は(2, -2)です。

三角形ABCの頂点の座標は、A(-4, 1), B(2, 3), C(2, -2)です。

x座標が整数の範囲は、-3, -2, -1, 0, 1のいずれかです。x = 2は辺上なので含みません。

各x座標に対して、y座標の範囲を考えます。

x = -3: AとBを結ぶ直線の式は $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$。BとCを結ぶ直線の式は $x = 2$。AとCを結ぶ直線の式は $y = \frac{1}{6}x + \frac{5}{3}$。

x = -3におけるy座標の上限は直線AB上なので、$y < \frac{1}{3}(-3) + \frac{7}{3} = \frac{4}{3} = 1.33$

x = -3におけるy座標の下限は直線AC上なので、$y > \frac{1}{6}(-3) + \frac{5}{3} = \frac{-3 + 10}{6} = \frac{7}{6} = 1.16$

整数yは存在しない。

x = -2:

x = -2におけるy座標の上限は直線AB上なので、$y < \frac{1}{3}(-2) + \frac{7}{3} = \frac{5}{3} = 1.66$

x = -2におけるy座標の下限は直線AC上なので、$y > \frac{1}{6}(-2) + \frac{5}{3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1.33$

整数yは存在しない。

x = -1:

x = -1におけるy座標の上限は直線AB上なので、$y < \frac{1}{3}(-1) + \frac{7}{3} = \frac{6}{3} = 2$

x = -1におけるy座標の下限は直線AC上なので、$y > \frac{1}{6}(-1) + \frac{5}{3} = \frac{-1 + 10}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

整数yは1つ: y = 1はAの上なので考えない、y=

2. なのでyはなし。

x = 0:

x = 0におけるy座標の上限は直線AB上なので、$y < \frac{1}{3}(0) + \frac{7}{3} = \frac{7}{3} = 2.33$

x = 0におけるy座標の下限は直線AC上なので、$y > \frac{1}{6}(0) + \frac{5}{3} = \frac{5}{3} = 1.66$

整数yは1つ:

2.

x = 1:

x = 1におけるy座標の上限は直線AB上なので、$y < \frac{1}{3}(1) + \frac{7}{3} = \frac{8}{3} = 2.66$

x = 1におけるy座標の下限は直線AC上なので、$y > \frac{1}{6}(1) + \frac{5}{3} = \frac{1 + 10}{6} = \frac{11}{6} = 1.83$

整数yは1つ:

2.

三角形ABCの内部にあるx座標とy座標がともに整数である点の個数は、1 + 1 = 2個。

3. 最終的な答え

問1: A(-4, 1)

問2: $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{7}{3}$

問3: 2個