与えられた等式を満たす三角形ABCの形状を決定する。 (1) $\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 (A+B)$ (2) $a \cos A = c \cos C$

1. 問題の内容

与えられた等式を満たす三角形ABCの形状を決定する。

(1) $\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 (A+B)$

(2) $a \cos A = c \cos C$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A+B = \pi - C$ であることを利用する。したがって、$\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$ となる。

与えられた式は、$\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2 C$ と書き換えられる。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ （Rは外接円の半径）が成り立つ。

したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$ となる。

これらを元の式に代入すると、$(\frac{a}{2R})^2 + (\frac{b}{2R})^2 = (\frac{c}{2R})^2$ となり、整理すると $a^2 + b^2 = c^2$ となる。

これは三平方の定理であり、三角形ABCはCを直角とする直角三角形である。

(2)

正弦定理より、$a = 2R \sin A$ と $c = 2R \sin C$ が成り立つ。

これらを $a \cos A = c \cos C$ に代入すると、$2R \sin A \cos A = 2R \sin C \cos C$ となる。

両辺を$2R$で割ると、$\sin A \cos A = \sin C \cos C$となる。

倍角の公式より、$2 \sin A \cos A = \sin 2A$、$2 \sin C \cos C = \sin 2C$ であるので、$\frac{1}{2}\sin 2A = \frac{1}{2}\sin 2C$ となり、$\sin 2A = \sin 2C$ となる。

したがって、$2A = 2C$ または $2A = \pi - 2C$ となる。

$2A = 2C$ のとき、$A = C$ となり、三角形ABCは$A=C$の二等辺三角形である。

$2A = \pi - 2C$ のとき、$2A + 2C = \pi$となり、$A + C = \frac{\pi}{2}$ となる。したがって、$B = \pi - (A+C) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ となり、三角形ABCはBを直角とする直角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) Cを直角とする直角三角形

(2) A=Cの二等辺三角形またはBを直角とする直角三角形