2つの直線 $y=x$ と $y=2x$ のなす角を2等分する直線 $y=mx$ ($m>0$) を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $y=x$ と $y=2x$ のなす角を2等分する直線 $y=mx$ ($m>0$) を求める。

2. 解き方の手順

2つの直線 $y=x$ と $y=2x$ が $x$軸の正の方向となす角をそれぞれ $\alpha$, $\beta$ とすると、$\tan \alpha = 1$, $\tan \beta = 2$ である。

直線 $y=mx$ が $y=x$ と $y=2x$ のなす角を2等分するので、$y=mx$ が $x$軸の正の方向となす角を $\theta$ とすると、

$\theta - \alpha = \beta - \theta$

が成り立つ。したがって、

$2\theta = \alpha + \beta$

$\theta = \frac{\alpha + \beta}{2}$

となる。このとき、

$\tan \theta = \tan \frac{\alpha + \beta}{2} = m$

となる。ここで、$\tan(\alpha+\beta)$を計算すると、

$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1+2}{1-1\cdot 2} = \frac{3}{-1} = -3$

である。

ここで、半角の公式を用いると、

$\tan^2 \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1-\cos(\alpha+\beta)}{1+\cos(\alpha+\beta)}$

$\cos(\alpha+\beta) = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha+\beta)}} \times (-1) = \frac{1}{\sqrt{1+(-3)^2}} \times (-1) = -\frac{1}{\sqrt{10}}$

（$\alpha+\beta$は鈍角なので、$\cos(\alpha+\beta)$は負である）

したがって、

$\tan^2 \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{10}}}{1-\frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{10}+1}{\sqrt{10}-1} = \frac{(\sqrt{10}+1)^2}{10-1} = \frac{10+2\sqrt{10}+1}{9} = \frac{11+2\sqrt{10}}{9}$

$m = \tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \pm \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3}$

$m>0$ より、

$m = \frac{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}{3} = \frac{\sqrt{(\sqrt{10}+1)^2}}{3} = \frac{\sqrt{10}+1}{3}$

あるいは、加法定理を利用する。

$\tan \theta = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = -3$

$\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} = \frac{2m}{1-m^2}$

$\tan 2\theta = \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{1+2}{1-(1)(2)} = -3$

$\frac{2m}{1-m^2} = -3$

$2m = -3(1-m^2)$

$2m = -3+3m^2$

$3m^2 - 2m - 3 = 0$

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-3)}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{4+36}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3}$

$m > 0$ より、

$m = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$m = \frac{1 + \sqrt{10}}{3}$