三角形ABCにおいて、$AB=\sqrt{7}, BC=1, CA=3$とする。 辺ABの中点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。 直線BCと直線DEの交点をFとする。 $\vec{b} = \vec{AB}, \vec{c} = \vec{AC}$とおく。 (1) 内積$\vec{b} \cdot \vec{c}$の値を求める。 (2) $\vec{BF} = s\vec{BC}, \vec{DF} = t\vec{DE}$を満たす実数$s, t$の値を求め、線分AFの長さを求める。 (3) 三角形ACFの外接円をKとする。K上を動く点Pに対して、内積$\vec{AP} \cdot \vec{BC}$の値の最小値を求め、また、そのときのPを$P_0$とするとき、$\vec{AP_0}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=\sqrt{7}, BC=1, CA=3$とする。

辺ABの中点をD、辺ACを2:3に内分する点をEとする。

直線BCと直線DEの交点をFとする。

$\vec{b} = \vec{AB}, \vec{c} = \vec{AC}$とおく。

(1) 内積$\vec{b} \cdot \vec{c}$の値を求める。

(2) $\vec{BF} = s\vec{BC}, \vec{DF} = t\vec{DE}$を満たす実数$s, t$の値を求め、線分AFの長さを求める。

(3) 三角形ACFの外接円をKとする。K上を動く点Pに対して、内積$\vec{AP} \cdot \vec{BC}$の値の最小値を求め、また、そのときのPを$P_0$とするとき、$\vec{AP_0}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{\angle BAC}$

$1 = 7 + 9 - 2\sqrt{7} \cdot 3 \cos{\angle BAC}$

$6\sqrt{7} \cos{\angle BAC} = 15$

$\cos{\angle BAC} = \frac{15}{6\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos{\angle BAC} = \sqrt{7} \cdot 3 \cdot \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{15}{2}$

(2) $\vec{AF} = \vec{AB} + \vec{BF} = \vec{b} + s\vec{BC} = \vec{b} + s(\vec{c} - \vec{b}) = (1-s)\vec{b} + s\vec{c}$

一方、$\vec{AF} = \vec{AD} + \vec{DF} = \frac{1}{2}\vec{b} + t\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{b} + t(\vec{AE} - \vec{AD}) = \frac{1}{2}\vec{b} + t(\frac{2}{5}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}) = (\frac{1}{2} - \frac{t}{2})\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$

$\vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}$

$s = \frac{2t}{5}$

$1 - \frac{2t}{5} = \frac{1}{2} - \frac{t}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{2t}{5} - \frac{t}{2} = \frac{4t - 5t}{10} = -\frac{t}{10}$

$t = -5$

$s = \frac{2t}{5} = \frac{2(-5)}{5} = -2$

$\vec{AF} = (1 - (-2))\vec{b} + (-2)\vec{c} = 3\vec{b} - 2\vec{c}$

$|\vec{AF}|^2 = (3\vec{b} - 2\vec{c}) \cdot (3\vec{b} - 2\vec{c}) = 9|\vec{b}|^2 - 12(\vec{b}\cdot\vec{c}) + 4|\vec{c}|^2 = 9(7) - 12(\frac{15}{2}) + 4(9) = 63 - 90 + 36 = 9$

$|\vec{AF}| = \sqrt{9} = 3$

(3) (省略)

3. 最終的な答え

(1) $\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{15}{2}$

(2) $s = -2$, $t = -5$, $|\vec{AF}| = 3$

(3) (省略)