ベクトル $\mathbf{a} = (3, -4)$ に垂直な単位ベクトル $\mathbf{v}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = (3, -4)$ に垂直な単位ベクトル $\mathbf{v}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{a}$ に垂直なベクトル $\mathbf{n}$ を求めます。ベクトル $\mathbf{a}=(a_1, a_2)$ に垂直なベクトルの一つは $\mathbf{n}=(-a_2, a_1)$ で与えられます。

(2) $\mathbf{n}$ の大きさを計算します。

(3) $\mathbf{n}$ をその大きさで割ることによって、単位ベクトルを求めます。単位ベクトルは元のベクトルと同じ方向を向き、大きさが 1 です。

(4) 垂直な単位ベクトルは二つ存在するので、もう一つの解も記述します。

ステップ1: $\mathbf{a} = (3, -4)$ に垂直なベクトル $\mathbf{n}$ を求める。

$\mathbf{n} = (4, 3)$

ステップ2: ベクトル $\mathbf{n}$ の大きさを計算する。

$\| \mathbf{n} \| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

ステップ3: $\mathbf{n}$ をその大きさで割って単位ベクトル $\mathbf{v}$ を求める。

$\mathbf{v} = \frac{\mathbf{n}}{\| \mathbf{n} \|} = \frac{(4, 3)}{5} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$

ステップ4: もう一つの解を求める。

$\mathbf{a}$ に垂直な単位ベクトルは二つ存在し、もう一つは $\mathbf{v}$ の逆方向のベクトルである。

よって、もう一つの解は $\left( -\frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)$

3. 最終的な答え

$\left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)$, $\left( -\frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)$