三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、角BAC = 70度、角IBA = 32度である。このとき、角Pの大きさを求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、角BAC = 70度、角IBA = 32度である。このとき、角Pの大きさを求める問題。

2. 解き方の手順

内心の性質から、BIは角Bの二等分線である。したがって、角ABCは角IBAの2倍である。

$∠ABC = 2 × ∠IBA = 2 × 32° = 64°$

三角形の内角の和は180度なので、角ACBは次のように求められる。

$∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 70° - 64° = 46°$

点Iは内心なので、CIは角Cの二等分線である。したがって、角ICBは角ACBの半分である。

$∠ICB = \frac{1}{2} × ∠ACB = \frac{1}{2} × 46° = 23°$

角IBCは角IBAと同じなので32度である。したがって、角BICは次のように求められる。

$∠BIC = 180° - ∠IBC - ∠ICB = 180° - 32° - 23° = 125°$

角BPCは円周角であり、角BICは中心角なので、角BPCは角BICの半分である。

しかし、問題文には円に関する記述が無いため、角BICが中心角であると断定することは出来ない。

内心の性質より、点Iは三角形ABCのすべての内角の二等分線の交点である。また点Pは辺BC上にあり、BP=PCを満たすとは限らないので、

角Pを求めることは不可能である。

内接円の接点の性質を利用すると解くことができる。

点Iから各辺に下ろした垂線の足が内接円と各辺の接点となる。辺BCとの接点をPとすると、角IPB=90°となる。

よって、角IBP=32°であるから、角BIP=180°-32°-90°=58°。

さらに、角ICB=23°なので、三角形PCIにおいて、角CIP=180°-90°-23°=67°。

したがって、角BIP+角CIP=角BIC=58°+67°=125°となる。

3. 最終的な答え

角Pを求めることはできない。