漸近線が $y = \pm 2x$ であり、点 $(3, 0)$ を通る双曲線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

漸近線が $y = \pm 2x$ であり、点 $(3, 0)$ を通る双曲線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の漸近線が $y = \pm 2x$ であることから、双曲線の方程式は

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 1$

の形で表され、$\frac{b}{a} = 2$ であることがわかります。

したがって、$b = 2a$ となります。

双曲線の方程式は

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{(2a)^2} = \pm 1$

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = \pm 1$

となります。

この双曲線が点 $(3, 0)$ を通ることから、$(x, y) = (3, 0)$ を代入します。

$\frac{3^2}{a^2} - \frac{0^2}{4a^2} = \pm 1$

$\frac{9}{a^2} = \pm 1$

$a^2 = \pm 9$

$a^2$ は正である必要があるため、$a^2 = 9$ となります。

したがって、$a = 3$ であり、$b = 2a = 6$ となります。

双曲線の方程式は

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = \pm 1$

点 $(3, 0)$ は双曲線 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ 上にあるので、求める双曲線の方程式は

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$