点 O(0,0,0), A(1,-1,2), B(1,1,2), C(-1,2,0) が与えられている。点 O から3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点 O(0,0,0), A(1,-1,2), B(1,1,2), C(-1,2,0) が与えられている。点 O から3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平面ABCの方程式を求める。平面上の任意の点P(x,y,z)に対して、ベクトルAP, AB, AC が同一平面上にあるとき、

$AP = sAB + tAC$

となる実数 s, t が存在する。

ここで、$AP = (x-1, y+1, z-2)$, $AB = (0, 2, 0)$, $AC = (-2, 3, -2)$ であるから、

$(x-1, y+1, z-2) = s(0, 2, 0) + t(-2, 3, -2) = (-2t, 2s+3t, -2t)$

したがって、

$x-1 = -2t$

$y+1 = 2s+3t$

$z-2 = -2t$

より、

$t = \frac{1-x}{2}$

$t = \frac{2-z}{2}$

であるから、$1-x = 2-z$ より、$x-z+1 = 0$。

よって平面ABCの方程式は $x-z+1=0$ である。

次に、原点Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hの座標を求める。

直線OH は平面ABCに垂直であるから、その方向ベクトルは平面ABCの法線ベクトルに平行である。平面ABCの法線ベクトルは (1,0,-1) であるから、直線OH の方程式は、

$(x, y, z) = k(1, 0, -1) = (k, 0, -k)$

と表せる。H は平面ABC上にあるから、Hの座標 (k, 0, -k) は平面ABCの方程式を満たす。

$k - (-k) + 1 = 0$

$2k + 1 = 0$

$k = -\frac{1}{2}$

したがって、H の座標は $(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ となる。

3. 最終的な答え

Hの座標は $(-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$