2つの円 $x^2 + y^2 = 2$ と $(x-1)^2 + (y+1)^2 = 1$ の交点を通る円で、直線 $y=x$ と接する円の中心と半径を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 2$ と $(x-1)^2 + (y+1)^2 = 1$ の交点を通る円で、直線 $y=x$ と接する円の中心と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて次のように表せる。

$$x^2 + y^2 - 2 + k\{(x-1)^2 + (y+1)^2 - 1\} = 0$$

この円が直線 $y=x$ と接するとき、上の式に $y=x$ を代入した2次方程式

$$x^2 + x^2 - 2 + k\{(x-1)^2 + (x+1)^2 - 1\} = 0$$

つまり、

$$2x^2 - 2 + k(x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 - 1) = 0$$

$$2x^2 - 2 + k(2x^2 + 1) = 0$$

$$(2+2k)x^2 + k - 2 = 0$$

が重解を持つ。

$$(2+2k)x^2 + (k-2) = 0$$

もし、$2+2k=0$ ならば、$k=-1$。このとき、$k-2=-3=0$になることはないので、$2+2k \neq 0$。

よって、2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$D=0^2 - 4(2+2k)(k-2) = 0$$

$$-4(2k^2 - 4k + 2k - 4) = 0$$

$$2k^2 - 2k - 4 = 0$$

$$k^2 - k - 2 = 0$$

$$(k-2)(k+1) = 0$$

$k=2, -1$。$k=-1$のとき、円の方程式は、

$$x^2+y^2 - 2 - \{(x-1)^2 + (y+1)^2 - 1\} = 0$$

$$x^2+y^2 - 2 - (x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 - 1) = 0$$

$$x^2+y^2 - 2 - x^2 + 2x - 1 - y^2 - 2y - 1 + 1 = 0$$

$$2x - 2y - 3 = 0$$

これは円ではないため不適。

$k=2$のとき、円の方程式は、

$$x^2 + y^2 - 2 + 2\{(x-1)^2 + (y+1)^2 - 1\} = 0$$

$$x^2 + y^2 - 2 + 2(x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 - 1) = 0$$

$$x^2 + y^2 - 2 + 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2 + 4y + 2 - 2 = 0$$

$$3x^2 + 3y^2 - 4x + 4y - 2 = 0$$

$$x^2 + y^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}y - \frac{2}{3} = 0$$

$$(x-\frac{2}{3})^2 + (y+\frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9} - \frac{4}{9} - \frac{2}{3} = 0$$

$$(x-\frac{2}{3})^2 + (y+\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{6}{9} = \frac{14}{9}$$

中心は $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$。半径は $\sqrt{\frac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$。

3. 最終的な答え

中心: $(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$

半径: $\frac{\sqrt{14}}{3}$