図Aにおいて、三角形ABCの辺AB, AC上に点P, Qがある。以下の文の空欄を埋めよ。 [1] $PQ // BC$ ならば、 $AP:AB = AQ:(①) = PQ:(②)$ $AP:PB = AQ:(③)$ [2] $AP:AB = AQ:AC$ ならば $PQ // (④)$ [3] $AP:PB = AQ:QC$ ならば $PQ // (⑤)$ 三角形ABCの辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとすると、 $MN // (⑥), MN = (⑦)$

1. 問題の内容

図Aにおいて、三角形ABCの辺AB, AC上に点P, Qがある。以下の文の空欄を埋めよ。

[1] $PQ // BC$ ならば、

$AP:AB = AQ:(①) = PQ:(②)$

$AP:PB = AQ:(③)$

[2] $AP:AB = AQ:AC$ ならば $PQ // (④)$

[3] $AP:PB = AQ:QC$ ならば $PQ // (⑤)$

三角形ABCの辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとすると、

$MN // (⑥), MN = (⑦)$

2. 解き方の手順

[1]

$AP:AB = AQ:AC$ （相似な三角形の辺の比） よって、①は$AC$。

$AP:AB = PQ:BC$ （相似な三角形の辺の比） よって、②は$BC$。

$AP:PB = AQ:QC$ （平行線と線分の比） よって、③は$QC$。

[2]

$AP:AB = AQ:AC$ ならば、$PQ // BC$ （平行線になる条件の逆）よって、④は$BC$。

[3]

$AP:PB = AQ:QC$ ならば、$PQ // BC$ （平行線になる条件の逆）よって、⑤は$BC$。

中点連結定理より、

$MN // BC$ よって、⑥は$BC$。

$MN = \frac{1}{2} BC$ よって、⑦は$\frac{1}{2}BC$。

3. 最終的な答え

1: AC

2: BC

3: QC

4: BC

5: BC

6: BC

7: $\frac{1}{2}BC$