y軸上の点A(0,5)を通りx軸に平行な直線上にある点Bを考える。直線OBの傾きを$a$とする。点Bを通り傾き$-a$の直線が、2点C(6,0), D(8,0)を結ぶ線分CD上の点を通るときの、$a$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

y軸上の点A(0,5)を通りx軸に平行な直線上にある点Bを考える。直線OBの傾きを$a$とする。点Bを通り傾き$-a$の直線が、2点C(6,0), D(8,0)を結ぶ線分CD上の点を通るときの、$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Bの座標を求める。点Bは、y=5の直線上にあるので、点Bの座標は(x,5)となる。

また、直線OBの傾きが$a$であるから、

$a = \frac{5-0}{x-0} = \frac{5}{x}$

したがって、$x = \frac{5}{a}$となる。

よって、点Bの座標は $(\frac{5}{a}, 5)$となる。

次に、点Bを通る傾き$-a$の直線の式を求める。

$y - 5 = -a(x - \frac{5}{a})$

$y = -ax + 5 + 5$

$y = -ax + 10$

この直線が線分CD上の点を通ることから、点C(6,0)と点D(8,0)の中点E(7,0)と線分CDの端点C(6,0),D(8,0)について考える。

直線が点Cを通るとき、$0 = -6a + 10$より、$a = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

直線が点Dを通るとき、$0 = -8a + 10$より、$a = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

直線が点Eを通るとき、$0 = -7a + 10$より、$a = \frac{10}{7}$

$a$の値が小さいほど、傾きが緩やかになるので、$a$は$\frac{5}{4} \leqq a \leqq \frac{5}{3}$の範囲にある。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4} \leqq a \leqq \frac{5}{3}$