正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{p}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{q}$であるとき、次のベクトルを$\vec{p}$、$\vec{q}$を用いて表す問題です。 (1) $\overrightarrow{EC}$ (2) $\overrightarrow{AE}$

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{p}$、$\overrightarrow{BC} = \vec{q}$であるとき、次のベクトルを$\vec{p}$、$\vec{q}$を用いて表す問題です。

(1) $\overrightarrow{EC}$

(2) $\overrightarrow{AE}$

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{EC}$について

$\overrightarrow{EC} = - \overrightarrow{CE}$ と表せる。

ここで、$\overrightarrow{CE}$を考える。

$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$である。

正六角形の性質から、$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{p}$である。

また、$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC} = \vec{q}$である。

したがって、$\overrightarrow{CE} = -\vec{p} + \vec{q}$となる。

よって、

$\overrightarrow{EC} = - \overrightarrow{CE} = - (-\vec{p} + \vec{q}) = \vec{p} - \vec{q}$

(2) $\overrightarrow{AE}$について

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{AB} = \vec{p}$

$\overrightarrow{BC} = \vec{q}$

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{p}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BC} = \vec{q}$

$\overrightarrow{AE} = \vec{p} + \vec{q} - \vec{p} + \vec{q}$

$\overrightarrow{AE} = 2\vec{q}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{EC} = \vec{p} - \vec{q}$

(2) $\overrightarrow{AE} = 2\vec{q}$