点P(x, y) は、y軸からの距離を $d_1$、点(-1, 0) からの距離を $d_2$ とします。$ad_1 = d_2$ を満たすとき、$a$ が (1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$、(2) 1、(3) $\sqrt{2}$ のそれぞれの場合について、点P(x, y) の軌跡の焦点の座標を求めます。

1. 問題の内容

点P(x, y) は、y軸からの距離を $d_1$、点(-1, 0) からの距離を $d_2$ とします。$ad_1 = d_2$ を満たすとき、$a$ が (1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$、(2) 1、(3) $\sqrt{2}$ のそれぞれの場合について、点P(x, y) の軌跡の焦点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

$d_1 = |x|$ 、 $d_2 = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$ です。与えられた条件 $ad_1 = d_2$ をそれぞれの場合について計算します。

(1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$\frac{1}{\sqrt{2}}|x| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

両辺を2乗して

$\frac{1}{2}x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$\frac{1}{2}x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$-\frac{1}{2}x^2 - 2x - 1 = y^2$

$-\frac{1}{2}(x^2 + 4x) - 1 = y^2$

$-\frac{1}{2}((x+2)^2 - 4) - 1 = y^2$

$-\frac{1}{2}(x+2)^2 + 2 - 1 = y^2$

$-\frac{1}{2}(x+2)^2 + 1 = y^2$

$\frac{(x+2)^2}{-2} + \frac{y^2}{1} = 1$

$\frac{(x+2)^2}{-2} + \frac{y^2}{1} = 1$

これは双曲線になります。

$\frac{(x+2)^2}{-2} + y^2 = 1$ を書き換えると

$y^2 - \frac{(x+2)^2}{2} = 1$。双曲線なので、焦点は

$c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 2 = 3$ なので $c = \sqrt{3}$。

焦点は $(-2, \sqrt{3})$, $(-2, -\sqrt{3})$。

ただし，$ad_1 = d_2$ より $|x| \geq 0$ なので、この双曲線の一部分のみが条件を満たします。

ここで $e = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$ は離心率なので放物線ではない。

焦点を求められる形に式を変形すると、

$\frac{(x+1)^2}{\frac{1}{2}} - \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1$

双曲線の方程式 $\frac{(x+1)^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ と比較して、$a^2 = 1/2$、$b^2 = 1/2$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 1/2 + 1/2 = 1$ なので、$c = 1$。

したがって、焦点は $(-2, 0)$ と $(0, 0)$。

(2) $a = 1$ のとき

$|x| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

$x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$0 = 2x + 1 + y^2$

$y^2 = -2x - 1 = -2(x + \frac{1}{2})$

これは放物線です。$y^2 = -4px$の形を考えると $4p=2$, $p = \frac{1}{2}$。

したがって、焦点は $(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0)$。

焦点は $(-1, 0)$。しかし、$x \geq 0$ なので$x$は正の値のみをとる。

(3) $a = \sqrt{2}$ のとき

$\sqrt{2}|x| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

$2x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$2x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$x^2 - 2x - 1 = y^2$

$(x-1)^2 - 1 - 1 = y^2$

$(x-1)^2 - y^2 = 2$

$\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$

双曲線の方程式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ と比較して、$a^2 = 2$、$b^2 = 2$。

$c^2 = a^2 + b^2 = 2 + 2 = 4$ なので、$c = 2$。

したがって、焦点は $(1+2, 0)$ と $(1-2, 0)$。つまり $(3, 0)$ と $(-1, 0)$。

ただし、$\sqrt{2}|x| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2} \geq 0$ より $|x| \geq 0$。

答え：

(1) $(-2, 0)$, $(0, 0)$

(2) $(-1, 0)$

(3) $(3, 0)$, $(-1, 0)$

3. 最終的な答え

(1) (-2, 0), (0, 0)

(2) (-1/2, 0)

(3) (3, 0), (-1, 0)