四面体OABCの辺OA, BC, OC, AB上に点P, Q, R, SがそれぞれOP:PA = 1:1, BQ:QC = 2:1, OR:RC = 1:2, AS:SB = 1:4となるようにとられている。 (1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とするとき、直線PQの方程式を媒介変数tと$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。 (2) 直線PQと直線RSが交わることを示す。

1. 問題の内容

四面体OABCの辺OA, BC, OC, AB上に点P, Q, R, SがそれぞれOP:PA = 1:1, BQ:QC = 2:1, OR:RC = 1:2, AS:SB = 1:4となるようにとられている。

(1) $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とするとき、直線PQの方程式を媒介変数tと$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

(2) 直線PQと直線RSが交わることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分OAを1:1に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

点Qは線分BCを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

直線PQ上の点をXとすると、実数tを用いて

$\overrightarrow{OX} = (1-t)\overrightarrow{OP} + t\overrightarrow{OQ} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{a} + t\frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b} + \frac{2t}{3}\vec{c}$

(2)

点Rは線分OCを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\vec{c}$

点Sは線分ABを1:4に内分するので、

$\overrightarrow{OS} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 1\overrightarrow{OB}}{1+4} = \frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5}$

直線RS上の点をYとすると、実数sを用いて

$\overrightarrow{OY} = (1-s)\overrightarrow{OR} + s\overrightarrow{OS} = (1-s)\frac{1}{3}\vec{c} + s\frac{4\vec{a} + \vec{b}}{5} = \frac{4s}{5}\vec{a} + \frac{s}{5}\vec{b} + \frac{1-s}{3}\vec{c}$

直線PQと直線RSが交わるためには、$\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OY}$となるような実数s, tが存在する必要がある。

したがって、

$\frac{1-t}{2} = \frac{4s}{5}$

$\frac{t}{3} = \frac{s}{5}$

$\frac{2t}{3} = \frac{1-s}{3}$

この連立方程式を解く。

2番目の式より$s = \frac{5t}{3}$

これを1番目の式に代入すると$\frac{1-t}{2} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5t}{3} = \frac{4t}{3}$

$3(1-t) = 8t$

$3 - 3t = 8t$

$11t = 3$

$t = \frac{3}{11}$

このとき、$s = \frac{5}{3}t = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{11} = \frac{5}{11}$

3番目の式に代入すると

$\frac{2t}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{11} = \frac{2}{11}$

$\frac{1-s}{3} = \frac{1 - \frac{5}{11}}{3} = \frac{\frac{6}{11}}{3} = \frac{2}{11}$

したがって、3つの式は全て満たされる。

実数t, sが存在するので、直線PQと直線RSは交わる。

3. 最終的な答え

(1) 直線PQの方程式は、 $\overrightarrow{OX} = \frac{1-t}{2}\vec{a} + \frac{t}{3}\vec{b} + \frac{2t}{3}\vec{c}$

(2) 直線PQと直線RSは交わる。