点A(2, 0), B(0, 2) があるとき、次の条件を満たす点Pの軌跡の方程式を求める問題です。 (1) $AP^2 + BP^2 = 6$ (2) $AP : BP = 1 : 2$ (3) $AP^2 - BP^2 = 4$

1. 問題の内容

点A(2, 0), B(0, 2) があるとき、次の条件を満たす点Pの軌跡の方程式を求める問題です。

(1) $AP^2 + BP^2 = 6$

(2) $AP : BP = 1 : 2$

(3) $AP^2 - BP^2 = 4$

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とおきます。

(1) $AP^2 + BP^2 = 6$の場合

$AP^2 = (x-2)^2 + (y-0)^2 = (x-2)^2 + y^2$

$BP^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + (y-2)^2$

これらを$AP^2 + BP^2 = 6$に代入します。

$(x-2)^2 + y^2 + x^2 + (y-2)^2 = 6$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 + x^2 + y^2 - 4y + 4 = 6$

$2x^2 - 4x + 2y^2 - 4y + 8 = 6$

$2x^2 - 4x + 2y^2 - 4y + 2 = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは、中心(1, 1), 半径1の円の方程式です。

(2) $AP : BP = 1 : 2$の場合

$AP = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{x^2 + (y-2)^2}$

$AP : BP = 1 : 2$ より、$2AP = BP$

$4AP^2 = BP^2$

$4((x-2)^2 + y^2) = x^2 + (y-2)^2$

$4(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$3x^2 - 16x + 3y^2 + 4y + 12 = 0$

$3(x^2 - \frac{16}{3}x) + 3(y^2 + \frac{4}{3}y) = -12$

$3(x^2 - \frac{16}{3}x + (\frac{8}{3})^2) + 3(y^2 + \frac{4}{3}y + (\frac{2}{3})^2) = -12 + 3(\frac{8}{3})^2 + 3(\frac{2}{3})^2$

$3(x - \frac{8}{3})^2 + 3(y + \frac{2}{3})^2 = -12 + \frac{64}{3} + \frac{4}{3}$

$3(x - \frac{8}{3})^2 + 3(y + \frac{2}{3})^2 = - \frac{36}{3} + \frac{68}{3} = \frac{32}{3}$

$(x - \frac{8}{3})^2 + (y + \frac{2}{3})^2 = \frac{32}{9}$

これは、中心($\frac{8}{3}, -\frac{2}{3}$), 半径$\frac{\sqrt{32}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$の円の方程式です。

(3) $AP^2 - BP^2 = 4$の場合

$AP^2 = (x-2)^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2$

$BP^2 = x^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$AP^2 - BP^2 = (x^2 - 4x + 4 + y^2) - (x^2 + y^2 - 4y + 4) = 4$

$-4x + 4y = 4$

$-x + y = 1$

$y = x + 1$

これは、傾き1, y切片1の直線の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

(2) $(x - \frac{8}{3})^2 + (y + \frac{2}{3})^2 = \frac{32}{9}$

(3) $y = x + 1$