原点をOとする座標平面上に2点A(2, 1), B(1, 2)がある。 $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ を満たす点P(x, y)について、sとtが以下の条件を満たすときの点Pの存在範囲を図示せよ。 (1) $0 \le s \le 2, t = 0$ (2) $0 \le s \le 2, 1 \le t \le 2$ (3) $s \ge 0, t \ge 0, s + 2t \le 2$

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に2点A(2, 1), B(1, 2)がある。

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ を満たす点P(x, y)について、sとtが以下の条件を満たすときの点Pの存在範囲を図示せよ。

(1) $0 \le s \le 2, t = 0$

(2) $0 \le s \le 2, 1 \le t \le 2$

(3) $s \ge 0, t \ge 0, s + 2t \le 2$

2. 解き方の手順

(1)

$t = 0$ なので $\vec{OP} = s\vec{OA}$。$0 \le s \le 2$ より、点Pは点A(2, 1)と原点Oを結ぶ線分を2倍に伸ばした線分上にある。

つまり、点Pは点O(0, 0)と点(4, 2)を結ぶ線分上にある。

(2)

$0 \le s \le 2$、 $1 \le t \le 2$ より、

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = s(2, 1) + t(1, 2) = (2s+t, s+2t)$

$s=0, t=1$ のとき、P(1, 2)。

$s=2, t=1$ のとき、P(5, 4)。

$s=0, t=2$ のとき、P(2, 4)。

$s=2, t=2$ のとき、P(6, 6)。

点Pは、(1, 2), (5, 4), (6, 6), (2, 4)を頂点とする平行四辺形の内部および境界上にある。

(3)

$s \ge 0, t \ge 0, s + 2t \le 2$ より、

$s = 2s'$, $t = t'$ とおくと、$s' \ge 0, t' \ge 0, s' + t' \le 1$ となる。

このとき、$\vec{OP} = 2s'\vec{OA} + t'\vec{OB}$

$s' = 0, t' = 0$ のとき、P(0, 0)。

$s' = 1, t' = 0$ のとき、P(4, 2)。

$s' = 0, t' = 1$ のとき、P(1, 2)。

したがって、点Pは点O(0, 0)、(4, 2)、(1, 2)を頂点とする三角形の内部および境界上にある。

3. 最終的な答え

(1) 点O(0, 0)と点(4, 2)を結ぶ線分。

(2) (1, 2), (5, 4), (6, 6), (2, 4)を頂点とする平行四辺形の内部および境界。

(3) 点O(0, 0)、(4, 2)、(1, 2)を頂点とする三角形の内部および境界。