三角形ABCにおいて、$AB=2$, $BC=4$, $CA=3$とする。$\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$と定める。 (1) ベクトル$\vec{b}$と$\vec{c}$の内積$\vec{b} \cdot \vec{c}$を求める。 (2) $\triangle ABC$の内心を$D$とする。内心$D$が$\angle A$の二等分線上にあることから、ベクトル$\vec{AD}$を$\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{\Box}\vec{c}$の実数倍で表し、$\vec{AD}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$で表す。 (3) 内心$D$から辺$AB$に下ろした垂線の足を$H$とする。$\vec{AH}$を$\vec{b}$で表す。 (4) $\triangle ABC$の内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=2$, $BC=4$, $CA=3$とする。$\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{c} = \vec{AC}$と定める。

(1) ベクトル$\vec{b}$と$\vec{c}$の内積$\vec{b} \cdot \vec{c}$を求める。

(2) $\triangle ABC$の内心を$D$とする。内心$D$が$\angle A$の二等分線上にあることから、ベクトル$\vec{AD}$を$\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{\Box}\vec{c}$の実数倍で表し、$\vec{AD}$を$\vec{b}$と$\vec{c}$で表す。

(3) 内心$D$から辺$AB$に下ろした垂線の足を$H$とする。$\vec{AH}$を$\vec{b}$で表す。

(4) $\triangle ABC$の内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos{A}$であり、余弦定理より、

$\cos{A} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4+9-16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}$

よって、$\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{4}) = -\frac{3}{2}$

(2) 内心$D$は$\angle A$の二等分線上にあるから、$\vec{AD}$は$\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$の実数倍である。

$\vec{AD} = k(\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c})$とおける。

内心$D$は角の二等分線の交点であるので、$\vec{AD} = \frac{a\vec{b} + b\vec{c}}{a+b+c} (|\vec{AB}|+|\vec{AC}|)\frac{\vec{AE}}{|\vec{AE}|} = \frac{4\vec{b}+2\vec{c}}{9}$.

$\vec{AD} = \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

(3) $\vec{DH} \perp \vec{AB}$であるから、$\vec{DH} \cdot \vec{b} = 0$

$\vec{AH} = k\vec{b}$とおくと、$\vec{DH} = \vec{AH} - \vec{AD} = k\vec{b} - (\frac{4}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}) = (k - \frac{4}{9})\vec{b} - \frac{2}{9}\vec{c}$

$\vec{DH} \cdot \vec{b} = ((k - \frac{4}{9})\vec{b} - \frac{2}{9}\vec{c}) \cdot \vec{b} = (k - \frac{4}{9})|\vec{b}|^2 - \frac{2}{9}(\vec{c} \cdot \vec{b}) = 0$

$(k - \frac{4}{9}) \cdot 4 - \frac{2}{9} \cdot (-\frac{3}{2}) = 0$

$4k - \frac{16}{9} + \frac{1}{3} = 0$

$4k = \frac{16}{9} - \frac{3}{9} = \frac{13}{9}$

$k = \frac{13}{36}$

$\vec{AH} = \frac{13}{36}\vec{b}$

(4) ヘロンの公式より、$\triangle ABC$の面積$S$は、

$s = \frac{2+4+3}{2} = \frac{9}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{9}{2}(\frac{9}{2}-4)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-2)} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \frac{3}{4}\sqrt{15}$

内接円の半径を$r$とすると、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = \frac{1}{2}r(2+4+3) = \frac{9}{2}r$

$\frac{9}{2}r = \frac{3}{4}\sqrt{15}$

$r = \frac{3}{4}\sqrt{15} \cdot \frac{2}{9} = \frac{\sqrt{15}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{3}{2}$

(2) $\vec{AD} = \frac{4}{9}\vec{b} + \frac{2}{9}\vec{c}$

(3) $\vec{AH} = \frac{13}{36}\vec{b}$

(4) 内接円の半径は$\frac{\sqrt{15}}{6}$