1. 問題の内容
立方体ABCD-EFGHにおいて、点Pが頂点Aを出発し、他のすべての頂点を一度だけ通り、再びAに戻る経路は何通りあるか。
2. 解き方の手順
* **頂点Aから出発できる辺の選択:**
点Aから出発できる辺は、AD、AB、AEの3つです。
* **各辺から始まる経路の検討:**
対称性より、ADから始まる経路とABから始まる経路、AEから始まる経路は同じ数だけ存在します。したがって、ADから始まる経路を計算し、それを3倍すれば全体の経路数が求まります。
* **ADから始まる経路の探索:**
ADから始まる経路の場合、次の頂点はDです。Dからは、DC、DH、DAのうち、DCかDHに進む必要があります。
* **DCに進む場合:** D -> C -> B -> F -> G -> H -> E -> A という順に進むことで、全ての点を一度ずつ通りAに戻ることができます。D->C->G->F->B->A
* DからCに進む場合、残りの頂点を通る順番は決定されるので、経路は1つしかありません。
* **DHに進む場合:** D -> H -> E -> A という順に進むことで、全ての点を一度ずつ通りAに戻ることができます。 D->H->E->F->G->C->B->A
* **経路の数の計算:**
ADから始まる経路は上記のように2つ存在します。
同様に、ABから始まる経路、AEから始まる経路もそれぞれ2つずつ存在します。
* **全体の経路数の計算:**
全体の経路数は、ADから始まる経路の数 × 3 = 2 * 3 = 6通りとなります。
3. 最終的な答え
6通り