点 A(3, 0) と点 B(0, 9) を通る直線 $l$ がある。 (1) 直線 $l$ の式を求める。 (2) 点 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸の交点を Q、点 P から y 軸に下ろした垂線と y 軸の交点を R とする。四角形 PQOR が正方形になるときの点 P の座標を 2 つ求める。

1. 問題の内容

点 A(3, 0) と点 B(0, 9) を通る直線 $l$ がある。

(1) 直線 $l$ の式を求める。

(2) 点 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸の交点を Q、点 P から y 軸に下ろした垂線と y 軸の交点を R とする。四角形 PQOR が正方形になるときの点 P の座標を 2 つ求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式を求める。

直線 $l$ は、2点 A(3, 0) と B(0, 9) を通る。

直線の式を $y = ax + b$ とすると、

点 A(3, 0) を通ることから、$0 = 3a + b$

点 B(0, 9) を通ることから、$9 = 0a + b$ よって $b = 9$

$0 = 3a + 9$ より $3a = -9$ よって $a = -3$

したがって、直線 $l$ の式は $y = -3x + 9$

(2) 四角形 PQOR が正方形になるときの点 P の座標を求める。

点 P は直線 $l$ 上の点であるから、点 P の座標を $(t, -3t + 9)$ とおく。

ただし、Pは線分AB上にあるので、$0 \le t \le 3$ である。

PQOR が正方形であるとき、$PQ = OQ$ であるから、

$-3t + 9 = t$

$4t = 9$

$t = \frac{9}{4}$

したがって、点 P の座標は $(\frac{9}{4}, -3 \times \frac{9}{4} + 9) = (\frac{9}{4}, \frac{9}{4})$

PQORが正方形のとき、座標は全て正である必要はない。

点Pが直線l上を動くとき、PQORが正方形になる条件は$OQ = OR$より、$t = -3t+9$または、$t = -(-3t+9)$。

$t = -3t+9$はすでに解いたので、$t = -(-3t+9) = 3t -9$のときを考える。

このとき、$2t = 9$より、$t=\frac{9}{2}$。

このとき、点Pのy座標は$-3 \times \frac{9}{2} + 9 = -\frac{27}{2} + \frac{18}{2} = -\frac{9}{2}$。

したがって、点Pの座標は$(\frac{9}{2}, -\frac{9}{2})$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -3x + 9$

(2) $(\frac{9}{4}, \frac{9}{4})$, $(\frac{9}{2}, -\frac{9}{2})$