三角形ABCがあり、A(0, 8), B(-3, 0), C(7, 0) である。 (1) 点Pの座標が(0, 3)のとき、直線BPの式を求める。 (2) 三角形PBCの面積が20のとき、三角形APCの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、A(0, 8), B(-3, 0), C(7, 0) である。

(1) 点Pの座標が(0, 3)のとき、直線BPの式を求める。

(2) 三角形PBCの面積が20のとき、三角形APCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線BPの式を求める。点B(-3, 0)と点P(0, 3)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

点Bを通るので、$0 = -3a + b$。

点Pを通るので、$3 = 0a + b$より、$b = 3$。

$0 = -3a + 3$より、$3a = 3$なので、$a = 1$。

よって、直線BPの式は、$y = x + 3$。

(2)

三角形PBCの面積が20のとき、三角形APCの面積を求める。

点Pはy軸上を原点Oから点A(0,8)まで動くので、点Pの座標を(0, t) (0 ≦ t ≦ 8)とする。

三角形PBCの面積は、$1/2 \times BC \times |y座標の差|$で計算できる。

BCの長さは、$7 - (-3) = 10$である。

三角形PBCの面積は、$1/2 \times 10 \times |t - 0| = 5t$。

$5t = 20$なので、$t = 4$。したがって、点Pの座標は(0, 4)。

三角形APCの面積は、$1/2 \times AC \times |x座標の差|$で計算できる。

ACの長さは、$8 - t = 8 - 4 = 4$である。

したがって、三角形APCの面積は、$1/2 \times 10 \times 4 = 20$。

ここで、三角形ABCの面積は、$1/2 \times BC \times 高さ = 1/2 \times 10 \times 8 = 40$。

三角形ABPの面積は、$1/2 \times BC \times (8-4) = 1/2 \times 10 \times 4 = 20$。

三角形APCの面積は、$1/2 \times 10 \times (8-4) = 1/2 \times 10 \times 4 = 20$。

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 3$

(2) 20