正多面体の各面を、隣り合う面が同じ色にならないように塗り分ける問題です。回転して一致するものは同じ塗り方とみなします。具体的には、以下の4つの問いに答えます。 (1) 異なる3色すべてを使った立方体の塗り分け方 (2) 異なる4色すべてを使った立方体の塗り分け方 (3) 異なる6色すべてを使った立方体の塗り分け方 (4) 異なる8色すべてを使った正八面体の塗り分け方

1. 問題の内容

正多面体の各面を、隣り合う面が同じ色にならないように塗り分ける問題です。回転して一致するものは同じ塗り方とみなします。具体的には、以下の4つの問いに答えます。

(1) 異なる3色すべてを使った立方体の塗り分け方

(2) 異なる4色すべてを使った立方体の塗り分け方

(3) 異なる6色すべてを使った立方体の塗り分け方

(4) 異なる8色すべてを使った正八面体の塗り分け方

2. 解き方の手順

(1) 異なる3色すべてを使った立方体の塗り分け方

まず、立方体の6面を3色で塗るので、少なくとも1色は2回使われる必要があります。隣り合う面が同じ色にならないという条件があるので、対面を同じ色で塗る必要があります。

対面を同色で塗る色の選び方は3通り。

残りの4面を異なる2色で塗る方法は、2色をそれぞれ2面ずつ塗ることになります。

隣り合う面が同色にならないためには、対面を同色で塗るしかありません。

よって、残りの2色の選び方は、${}_2C_2 = 1$通りです。

残りの4面を2色で塗るパターンは、回転によって同じになるものを除くと1通りしかありません。

したがって、$3 \times 1 = 3$通りです。

(2) 異なる4色すべてを使った立方体の塗り分け方

4色すべてを使う場合、2面が同じ色になる必要があります。

まず、どの色を2面に使用するかを決めます。これは4通りあります。

次に、その2面をどこに配置するかを考えます。隣り合う面には同じ色を塗れないので、対面にするしかありません。

残りの4面には、異なる3色を塗ります。しかし、4面に3色を塗ることはできません。

したがって、4色すべてを使った立方体の塗り分け方は0通りです。

(3) 異なる6色すべてを使った立方体の塗り分け方

立方体の各面を異なる6色で塗る場合、1つの面の色を固定して、残りの5色の並び方を考えます。

まず、底面の色を固定します。

上面の色は5通り選べます。

側面の4面は円順列になるので、$(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、塗り分け方は、$5 \times 6 = 30$通りです。

(4) 異なる8色すべてを使った正八面体の塗り分け方

正八面体の各面を異なる8色で塗る場合、1つの面の色を固定し、さらにその対面の色を決めます。

まず、底面の色を固定します。

底面の対面の色は7通り選べます。

残りの6面を塗る方法は、円順列の考え方を使います。

6面を円状に並べる順列は$(6-1)! = 5! = 120$通りです。

ただし、正八面体を上下反転させると同じになる塗り方があるので、円順列の並び方を2で割る必要があります。

$120 / 2 = 60$

したがって、塗り分け方は、$7 \times 60 = 420$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 3通り

(2) 0通り

(3) 30通り

(4) 420通り