問題6: ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求め、その大きさを求める。

1. 問題の内容

問題6: ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を求め、その大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算する。外積の定義は次の通りです。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

与えられたベクトルを代入すると、

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (1)(3) - (-2)(2) \\ (-2)(-1) - (1)(3) \\ (1)(2) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+4 \\ 2-3 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に、外積の大きさ $|\vec{a} \times \vec{b}|$ を計算する。ベクトルの大きさは各成分の二乗の和の平方根で求められる。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 1 + 9} = \sqrt{59}$

3. 最終的な答え

外積: $\begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

外積の大きさ: $\sqrt{59}$