点P(x, y)は、y軸からの距離を$d_1$、点(-1, 0)からの距離を$d_2$とする。$ad_1 = d_2$を満たすとき、$a$が与えられた値に対して、P(x, y)の軌跡の焦点を求める。$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $a = 1$, $a = \sqrt{2}$の3つの場合について、焦点を計算する。

1. 問題の内容

点P(x, y)は、y軸からの距離を$d_1$、点(-1, 0)からの距離を$d_2$とする。$ad_1 = d_2$を満たすとき、$a$が与えられた値に対して、P(x, y)の軌跡の焦点を求める。$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $a = 1$, $a = \sqrt{2}$の3つの場合について、焦点を計算する。

2. 解き方の手順

$d_1 = |x|$, $d_2 = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$である。

$ad_1 = d_2$より、$a^2x^2 = (x+1)^2 + y^2$となる。

(1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき

$\frac{1}{2}x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$\frac{1}{2}x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$-\frac{1}{2}x^2 - 2x - 1 = y^2$

$\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1 = -y^2$

$\frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 1 = -y^2$

$\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) - 2 + 1 = -y^2$

$\frac{1}{2}(x+2)^2 - 1 = -y^2$

$\frac{(x+2)^2}{2} - 1 = -y^2$

$y^2 - \frac{(x+2)^2}{2} = -1$

$\frac{(x+2)^2}{2} - y^2 = 1$

これは双曲線であり、中心は(-2, 0)である。焦点は、$c^2 = a^2 + b^2 = 2 + 1 = 3$より、$c = \sqrt{3}$である。焦点の座標は $(-2 \pm \sqrt{3}, 0)$となる。

ここで、$x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.732$, $x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.268$であり、$x_1 < x_2$である。

よって、$(-2-\sqrt{3}, 0), (-2+\sqrt{3}, 0)$

(2) $a = 1$のとき

$x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$2x + 1 + y^2 = 0$

$2x = -y^2 - 1$

$x = -\frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}$

これは放物線であり、頂点は$(-\frac{1}{2}, 0)$である。$4p = 2$より、$p = \frac{1}{2}$なので、焦点は$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{4}, 0) = (-\frac{3}{4}, 0)$

(3) $a = \sqrt{2}$のとき

$2x^2 = (x+1)^2 + y^2$

$2x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$x^2 - 2x - 1 = y^2$

$x^2 - 2x + 1 - 2 = y^2$

$(x-1)^2 - y^2 = 2$

$\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$

これは双曲線であり、中心は(1, 0)である。$c^2 = a^2 + b^2 = 2 + 2 = 4$より、$c = 2$である。焦点の座標は $(1 \pm 2, 0)$となる。

よって、(3, 0), (-1, 0)。

3. 最終的な答え

(1) (-2, 0)

(2) (-3/4, 0)

(3) (3, 0)