点P(x, y) が y 軸からの距離を $d_1$、点 (-1, 0) からの距離を $d_2$ とするとき、$ad_1 = d_2$ を満たすとします。$a$ が次の値のとき、P(x, y) の軌跡の焦点を求めます。 (1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき (2) $a = 1$ のとき (3) $a = \sqrt{2}$ のとき

1. 問題の内容

点P(x, y) が y 軸からの距離を $d_1$、点 (-1, 0) からの距離を $d_2$ とするとき、$ad_1 = d_2$ を満たすとします。$a$ が次の値のとき、P(x, y) の軌跡の焦点を求めます。

(1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

(2) $a = 1$ のとき

(3) $a = \sqrt{2}$ のとき

2. 解き方の手順

$d_1 = |x|$、 $d_2 = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$ です。$ad_1 = d_2$ より、$a|x| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$。両辺を2乗して、$a^2 x^2 = (x+1)^2 + y^2$。

$a^2 x^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$(a^2 - 1)x^2 - 2x - 1 - y^2 = 0$

(1) $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき

$(\frac{1}{2} - 1)x^2 - 2x - 1 - y^2 = 0$

$-\frac{1}{2}x^2 - 2x - 1 - y^2 = 0$

$x^2 + 4x + 2y^2 + 2 = 0$

$(x+2)^2 + 2y^2 = 2$

$\frac{(x+2)^2}{2} + y^2 = 1$

これは楕円で、中心は (-2, 0) です。

長軸は $\sqrt{2}$、短軸は 1 です。

焦点の座標を求めます。$c^2 = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$。よって $c = 1$。

したがって、焦点の座標は $(-2 \pm 1, 0)$ より、(-3, 0) と (-1, 0) です。

条件より、x座標が小さい方から順に並べるので、(-3,0), (-1,0)

(2) $a = 1$ のとき

$(1-1)x^2 - 2x - 1 - y^2 = 0$

$-2x - 1 - y^2 = 0$

$y^2 = -2x - 1 = -2(x+\frac{1}{2})$

これは放物線で、焦点の座標は$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0) = (-1,0)$

(3) $a = \sqrt{2}$ のとき

$(2-1)x^2 - 2x - 1 - y^2 = 0$

$x^2 - 2x - 1 - y^2 = 0$

$(x-1)^2 - y^2 = 2$

$\frac{(x-1)^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$

これは双曲線で、中心は (1, 0) です。

$c^2 = 2+2 = 4$。よって $c = 2$。

したがって、焦点の座標は $(1 \pm 2, 0)$ より、(-1, 0) と (3, 0) です。

条件より、x座標が小さい方から順に並べるので、(-1,0), (3,0)

3. 最終的な答え

(1) (-3, 0), (-1, 0)

(2) (-1, 0)

(3) (-1, 0), (3, 0)