$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求める。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ なので、

$(\frac{1}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{8}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で $\sin \theta > 0$ のとき、$\theta$ は第一象限または第二象限の角である。$\cos \theta$ は第一象限で正、第二象限で負である。

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ が与えられているので、$\theta$ は $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲にある。

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ または $\cos \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用いて $\tan \theta$ を求める。

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cos \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin\theta = \frac{1}{3} > 0$ より、$\theta$は第一象限または第二象限である。

従って、

$\cos \theta = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$ となる。

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$\cos \theta = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき、$\tan \theta = - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = - \frac{\sqrt{2}}{4}$