点A(0,5)があり、点Aを通りx軸に平行な直線を引く。その直線上に点Bがあり、直線OBの傾きを$a$とする。点Bを通り、傾きが$-a$の直線が、2点C(6,0), D(8,0)を結ぶ線分CD上の点を通るとき、$a$の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

点A(0,5)があり、点Aを通りx軸に平行な直線を引く。その直線上に点Bがあり、直線OBの傾きを$a$とする。点Bを通り、傾きが$-a$の直線が、2点C(6,0), D(8,0)を結ぶ線分CD上の点を通るとき、$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Bの座標を求める。点Bは点Aを通るx軸に平行な直線上にあるので、y座標は5。直線OBの傾きが$a$なので、点Bの座標を(x,5)とすると、$a = \frac{5}{x}$、つまり$x = \frac{5}{a}$となる。したがって、点Bの座標は$(\frac{5}{a}, 5)$。

次に、点Bを通り、傾き$-a$の直線の方程式を求める。

$y - 5 = -a(x - \frac{5}{a})$

$y = -ax + 5 + 5$

$y = -ax + 10$

この直線が線分CD上の点を通る条件を考える。

線分CDは、2点C(6,0)とD(8,0)を結ぶ線分なので、$x$の範囲は$6 \le x \le 8$。

$y$座標は0。

したがって、$y = -ax + 10$が、$6 \le x \le 8$かつ$y=0$となる$x$を持つような$a$の範囲を求める。

$0 = -ax + 10$

$ax = 10$

$x = \frac{10}{a}$

$6 \le x \le 8$なので、$6 \le \frac{10}{a} \le 8$。

これを解く。

$6 \le \frac{10}{a}$ より、$6a \le 10$ (ただし、$a > 0$)

$a \le \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$\frac{10}{a} \le 8$ より、$10 \le 8a$ (ただし、$a > 0$)

$a \ge \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

したがって、$\frac{5}{4} \le a \le \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4} \le a \le \frac{5}{3}$