$0 < \theta < 180^\circ$ のとき、$4\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}$ を満たす $\theta$ に対して、$\tan\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 < \theta < 180^\circ$ のとき、$4\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}$ を満たす $\theta$ に対して、$\tan\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形して、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の関係式を導きます。

$4\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}$

$2\sin\theta = \sqrt{2} - 4\cos\theta$

両辺を2乗すると、

$4\sin^2\theta = (\sqrt{2} - 4\cos\theta)^2$

$4\sin^2\theta = 2 - 8\sqrt{2}\cos\theta + 16\cos^2\theta$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて$\sin^2\theta$ を消去すると、

$4(1 - \cos^2\theta) = 2 - 8\sqrt{2}\cos\theta + 16\cos^2\theta$

$4 - 4\cos^2\theta = 2 - 8\sqrt{2}\cos\theta + 16\cos^2\theta$

$0 = 20\cos^2\theta - 8\sqrt{2}\cos\theta - 2$

$0 = 10\cos^2\theta - 4\sqrt{2}\cos\theta - 1$

ここで、$x = \cos\theta$ とおくと、

$10x^2 - 4\sqrt{2}x - 1 = 0$

この2次方程式を解くと、

$x = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4(10)(-1)}}{2(10)} = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 40}}{20} = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{72}}{20} = \frac{4\sqrt{2} \pm 6\sqrt{2}}{20}$

$x = \frac{4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{20} = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

または

$x = \frac{4\sqrt{2} - 6\sqrt{2}}{20} = \frac{-2\sqrt{2}}{20} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$\theta = 45^\circ$ なので、$2\sin\theta = \sqrt{2} - 4\cos\theta = \sqrt{2} - 4(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$ となり、$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。これは、$0 < \theta < 180^\circ$を満たさないので不適。

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{10}$ のとき、$2\sin\theta = \sqrt{2} - 4(-\frac{\sqrt{2}}{10}) = \sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{5} = \frac{7\sqrt{2}}{5}$

$\sin\theta = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{-\frac{\sqrt{2}}{10}} = -7$

3. 最終的な答え

$\tan\theta = -7$