三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6とする。また、ベクトルOA = ベクトルa, ベクトルOB = ベクトルbとする。 (1) 内積 ベクトルa・ベクトルbを求めよ。 (2) ベクトルOHを、ベクトルa, ベクトルbを用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6とする。また、ベクトルOA = ベクトルa, ベクトルOB = ベクトルbとする。

(1) 内積 ベクトルa・ベクトルbを求めよ。

(2) ベクトルOHを、ベクトルa, ベクトルbを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積の計算

余弦定理を用いて∠AOBの余弦を求めます。

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB}$

$6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos{\angle AOB}$

$36 = 16 + 25 - 40 \cos{\angle AOB}$

$40 \cos{\angle AOB} = 5$

$\cos{\angle AOB} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

内積は、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\angle AOB}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

(2) ベクトルOHの表現

ベクトルOH = s * ベクトルOA + t * ベクトルOB = s * ベクトルa + t * ベクトルbとおきます。

AH ⊥ OBより、ベクトルAH・ベクトルOB = 0

BH ⊥ OAより、ベクトルBH・ベクトルOA = 0

ベクトルAH = ベクトルOH - ベクトルOA = s * ベクトルa + t * ベクトルb - ベクトルa

ベクトルBH = ベクトルOH - ベクトルOB = s * ベクトルa + t * ベクトルb - ベクトルb

ベクトルAH・ベクトルOB = (s * ベクトルa + t * ベクトルb - ベクトルa)・ベクトルb = 0

s * ベクトルa・ベクトルb + t * ベクトルb・ベクトルb - ベクトルa・ベクトルb = 0

$\frac{5}{2}s + 25t - \frac{5}{2} = 0$

$5s + 50t = 5$

$s + 10t = 1$

ベクトルBH・ベクトルOA = (s * ベクトルa + t * ベクトルb - ベクトルb)・ベクトルa = 0

s * ベクトルa・ベクトルa + t * ベクトルb・ベクトルa - ベクトルb・ベクトルa = 0

$16s + \frac{5}{2}t - \frac{5}{2} = 0$

$32s + 5t = 5$

連立方程式を解く：

$s + 10t = 1$

$32s + 5t = 5$

$s = 1 - 10t$

$32(1 - 10t) + 5t = 5$

$32 - 320t + 5t = 5$

$315t = 27$

$t = \frac{27}{315} = \frac{3}{35}$

$s = 1 - 10(\frac{3}{35}) = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

ベクトルOH = $\frac{1}{7}$ベクトルa + $\frac{3}{35}$ベクトルb

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{3}{35}\vec{b}$