円Xは四角形PQRSに内接しており、四角形PQRSの辺を延長した3本の直線と接する円A, B, C, Dが存在する。円A, B, C, Xの半径がそれぞれ2, 1, 4, 3であるとき、円Dの半径を求める問題である。

1. 問題の内容

円Xは四角形PQRSに内接しており、四角形PQRSの辺を延長した3本の直線と接する円A, B, C, Dが存在する。円A, B, C, Xの半径がそれぞれ2, 1, 4, 3であるとき、円Dの半径を求める問題である。

2. 解き方の手順

この問題は、デザルグの定理と、接する円の半径の関係を利用して解くことができる。具体的には、以下の手順を踏む。

ステップ1：デカルトの円定理を適用する。4つの互いに接する円の半径を $r_1, r_2, r_3, r_4$ とすると、以下の関係式が成り立つ。

$(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_4})^2 = 2 (\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} + \frac{1}{r_4^2})$

ステップ2：問題の図において、円A, C, X, Dは互いに接しているとみなせる。それぞれの半径を $r_A, r_C, r_X, r_D$ とすると、$r_A = 2, r_C = 4, r_X = 3$である。これらをデカルトの円定理に代入し、$r_D$ を求める。

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{r_D})^2 = 2 (\frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{r_D^2})$

ステップ3：上記の式を整理し、$r_D$ について解く。まず、$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+4}{12} = \frac{13}{12}$ である。したがって、

$(\frac{13}{12} + \frac{1}{r_D})^2 = 2 (\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{9} + \frac{1}{r_D^2})$

$\frac{169}{144} + \frac{26}{12r_D} + \frac{1}{r_D^2} = 2 (\frac{36 + 9 + 16}{144} + \frac{1}{r_D^2})$

$\frac{169}{144} + \frac{13}{6r_D} + \frac{1}{r_D^2} = 2 (\frac{61}{144} + \frac{1}{r_D^2})$

$\frac{169}{144} + \frac{13}{6r_D} + \frac{1}{r_D^2} = \frac{122}{144} + \frac{2}{r_D^2}$

$\frac{47}{144} + \frac{13}{6r_D} - \frac{1}{r_D^2} = 0$

$47r_D^2 + 312r_D - 144 = 0$

ステップ4：二次方程式を解く。

$r_D = \frac{-312 \pm \sqrt{312^2 - 4(47)(-144)}}{2(47)}$

$r_D = \frac{-312 \pm \sqrt{97344 + 27072}}{94}$

$r_D = \frac{-312 \pm \sqrt{124416}}{94}$

$r_D = \frac{-312 \pm 352.726}{94}$

半径は正の値なので、

$r_D = \frac{-312 + 352.726}{94}$

$r_D = \frac{40.726}{94} \approx 0.433$

ただし、これはあくまで近似解である。より正確な解法としては、まず図の構成から、円B, X, A, Dが互いに接していることを見て、同じくデカルトの円定理を適用する。円Bの半径は1であるから、

$(\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{r_D})^2 = 2(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{r_D^2})$

$(\frac{11}{6} + \frac{1}{r_D})^2 = 2(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{1}{r_D^2})$

$\frac{121}{36} + \frac{22}{6r_D} + \frac{1}{r_D^2} = 2(\frac{36+4+9}{36} + \frac{1}{r_D^2})$

$\frac{121}{36} + \frac{11}{3r_D} + \frac{1}{r_D^2} = \frac{98}{36} + \frac{2}{r_D^2}$

$\frac{23}{36} + \frac{11}{3r_D} - \frac{1}{r_D^2} = 0$

$23r_D^2 + 132r_D - 36 = 0$

$r_D = \frac{-132 \pm \sqrt{132^2 - 4(23)(-36)}}{2(23)} = \frac{-132 \pm \sqrt{17424+3312}}{46} = \frac{-132 \pm \sqrt{20736}}{46} = \frac{-132 \pm 144}{46}$

$r_D = \frac{12}{46} = \frac{6}{23}$

3. 最終的な答え

円Dの半径は$\frac{6}{23}$