ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 2$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値と、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ より、$\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ となります。

次に、両辺の絶対値を計算します。

$|\vec{c}| = |-(\vec{a} + \vec{b})| = |\vec{a} + \vec{b}|$

与えられた条件より、$|\vec{c}| = 2$ であるから、

$|\vec{a} + \vec{b}| = 2$

両辺を2乗すると、

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4$

ベクトルの絶対値の2乗は、ベクトルの内積で表せるので、

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 4$

内積を展開すると、

$\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 4$

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4$

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ を代入すると、

$2^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2^2 = 4$

$4 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 4$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

内積の定義より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ (ここで $\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角)

$-2 = 2 \cdot 2 \cdot \cos{\theta}$

$-2 = 4 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ (または 120度)

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $\frac{2}{3}\pi$