三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

##

1. 問題の内容

問題は2つあります。

**問題11:**

三角形ABCにおいて、外接円の半径をRとします。

(1) $B = 60^\circ$, $C = 75^\circ$, $b = 2\sqrt{6}$のとき、$R$と$a$を求めよ。

(2) $A:B:C = 1:2:9$, $R = 1$のとき、$c$を求めよ。

**問題12:**

三角形ABCにおいて、

(1) $A = 60^\circ$, $b = 2$, $c = 3$のとき、$a$を求めよ。

(2) $a = 1$, $b = \sqrt{5}$, $c = \sqrt{2}$のとき、$B$を求めよ。

(3) $a = 2$, $b = \sqrt{6}$, $B = 60^\circ$のとき、$c$を求めよ。

##

2. 解き方の手順

**問題11 (1)**

1. まず、$A$の角度を求めます。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ$

2. 正弦定理を用いて$R$を求めます。

$\frac{b}{\sin B} = 2R$より、

$R = \frac{b}{2\sin B} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{2}$

3. 再び正弦定理を用いて$a$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = 2R$より、

$a = 2R\sin A = 2(2\sqrt{2})\sin 45^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4$

**問題11 (2)**

1. 角度の比から各角度を求めます。

$A:B:C = 1:2:9$なので、$A = x$, $B = 2x$, $C = 9x$と置けます。

$x + 2x + 9x = 180^\circ$より、$12x = 180^\circ$, $x = 15^\circ$

よって、$A = 15^\circ$, $B = 30^\circ$, $C = 135^\circ$

2. 正弦定理を用いて$c$を求めます。

$\frac{c}{\sin C} = 2R$より、

$c = 2R\sin C = 2(1)\sin 135^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

**問題12 (1)**

1. 余弦定理を用いて$a$を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3)\cos 60^\circ = 4 + 9 - 12(\frac{1}{2}) = 13 - 6 = 7$

$a = \sqrt{7}$

**問題12 (2)**

1. 余弦定理を用いて$\cos B$を求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2(1)(\sqrt{2})} = \frac{1 + 2 - 5}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $B$の角度を求めます。

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$を満たす$B$は、$B = 135^\circ$

**問題12 (3)**

1. 正弦定理を用いて$\sin C$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$より、$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$。　今回は$B$がわかっているので、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$を用いると、

$\frac{2}{\sin A}$

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\sin C = \frac{c \sin B}{b}$. 今回知りたいのは$c$なので、$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$から$\sin A$を求める方針で解く。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$A = 45^\circ$または$A = 135^\circ$

2. $A = 45^\circ$のとき、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$

$A = 135^\circ$のとき、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 135^\circ - 60^\circ = -15^\circ$。これはありえないので、$A = 45^\circ$。

3. 正弦定理を用いて$c$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$c = \frac{a\sin C}{\sin A} = \frac{2\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} + 1$

##

3. 最終的な答え

**問題11**

(1) $R = 2\sqrt{2}$, $a = 4$

(2) $c = \sqrt{2}$

**問題12**

(1) $a = \sqrt{7}$

(2) $B = 135^\circ$

(3) $c = \sqrt{3} + 1$