長方形ABCDがあり、AB = 4a, BC = 3a (a > 0) である。点PとQは点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。Pは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒 $\frac{3}{2}a$ の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。 (1) 出発してからx秒後に、点P, Qがともに辺BC上(両端を含む)にあるようなxの値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB = 4a, BC = 3a (a > 0) である。点PとQは点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。Pは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒 $\frac{3}{2}a$ の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。

(1) 出発してからx秒後に、点P, Qがともに辺BC上(両端を含む)にあるようなxの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pが辺BC上にある条件:

* 点PがAからBに到達するまでにかかる時間は $\frac{4a}{\frac{2}{3}a} = 6$ 秒

* 点PがBからCに到達するまでにかかる時間は $\frac{3a}{\frac{2}{3}a} = \frac{9}{2} = 4.5$ 秒

したがって、点Pが辺BC上にあるのは、$6 \le x \le 6 + 4.5$ すなわち $6 \le x \le \frac{21}{2}$ のときである。

点Qが辺BC上にある条件:

* 点QがAからDに到達するまでにかかる時間は $\frac{3a}{\frac{3}{2}a} = 2$ 秒

* 点QがDからCに到達するまでにかかる時間は $\frac{4a}{\frac{3}{2}a} = \frac{8}{3}$ 秒

* 点QがCからBに到達するまでにかかる時間は $\frac{3a}{\frac{3}{2}a} = 2$ 秒

したがって、点Qが辺BC上にあるのは、$2+ \frac{8}{3} \le x \le 2 + \frac{8}{3} + 2$ すなわち $\frac{14}{3} \le x \le \frac{20}{3}$ のときである。

PとQがともに辺BC上にある条件：

$6 \le x \le \frac{21}{2}$ かつ $\frac{14}{3} \le x \le \frac{20}{3}$ を満たすxの範囲を求める。

$6 = \frac{18}{3}$, $\frac{21}{2} = \frac{63}{6}$, $\frac{14}{3} = \frac{28}{6}$, $\frac{20}{3} = \frac{40}{6}$ であるので、

$\frac{18}{3} \le x \le \frac{20}{3}$ すなわち $6 \le x \le \frac{20}{3}$。

よって$6 \le x \le \frac{20}{3}$.

$\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$6 \le x \le \frac{20}{3}$