長方形ABCDにおいて、$AB = 4a$、$BC = 3a$である。点PとQは点Aを同時に出発する。点Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。 (1)出発してからx秒後に点PとQがともに辺BC上にあるようなxの値の範囲を求めよ。 (2)出発してからx秒後に点Pが辺AB上に、点Qが辺BC上にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求めよ。 (3)出発してからx秒後に三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB = 4a$、$BC = 3a$である。点PとQは点Aを同時に出発する。点Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。

(1)出発してからx秒後に点PとQがともに辺BC上にあるようなxの値の範囲を求めよ。

(2)出発してからx秒後に点Pが辺AB上に、点Qが辺BC上にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求めよ。

(3)出発してからx秒後に三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが辺BC上にあるとき、

$4a \div \frac{1}{3}a \le x \le (4a + 3a) \div \frac{1}{3}a$

$12 \le x \le 21$

点Qが辺BC上にあるとき、

$(4a + 3a + 4a) \div \frac{2}{3}a \le x \le (4a + 3a + 4a + 3a) \div \frac{2}{3}a$

$11a \div \frac{2}{3}a \le x \le 14a \div \frac{2}{3}a$

$\frac{33}{2} \le x \le 21$

よって、$16.5 \le x \le 21$を満たすxの範囲が答えとなる。

(2)

点Pが辺AB上にあるとき、PはAから$x \times \frac{1}{3}a = \frac{1}{3}ax$ だけ進んだ場所にいる。

点Qが辺BC上にあるとき、QはA→D→Cと進み、Cから$x \times \frac{2}{3}a - (4a + 3a) = \frac{2}{3}ax - 7a$ だけ戻った場所にいる。

$BP = 4a - \frac{1}{3}ax$

$BQ = 3a - (\frac{2}{3}ax - 7a) = 10a - \frac{2}{3}ax$

三角形BPQの面積 = $\frac{1}{2}BP \times BQ = \frac{1}{2} (4a - \frac{1}{3}ax) (10a - \frac{2}{3}ax) = \frac{4}{9}a^2$

$(4 - \frac{1}{3}x)(10 - \frac{2}{3}x) = \frac{8}{9}$

$40 - \frac{8}{3}x - \frac{10}{3}x + \frac{2}{9}x^2 = \frac{8}{9}$

$360 - 24x - 30x + 2x^2 = 8$

$2x^2 - 54x + 352 = 0$

$x^2 - 27x + 176 = 0$

$(x - 11)(x - 16) = 0$

$x = 11, 16$

点Pが辺AB上にある条件： $0 \le x \le 12$

点Qが辺BC上にある条件： $\frac{21}{2} \le x \le 21$

よって、$x = 11$は不適

(3)

(場合1)点Pが辺BC上、点Qが辺AB上にあるとき、

$BP = x \times \frac{1}{3}a - 4a = \frac{1}{3}ax - 4a$

$BQ = 4a - (x \times \frac{2}{3}a - 10a) = 14a - \frac{2}{3}ax$

$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}ax - 4a)(14a - \frac{2}{3}ax) = \frac{4}{9}a^2$

$(\frac{1}{3}x-4)(14-\frac{2}{3}x)=\frac{8}{9}$

$14(\frac{1}{3}x-4)-\frac{2}{9}x(\frac{1}{3}x-4)=\frac{8}{9}$

$\frac{14}{3}x-56-\frac{2}{27}x^{2}+\frac{8}{9}x=\frac{8}{9}$

$-\frac{2}{27}x^{2}+\frac{66}{9}x+\frac{8}{9}-56=0$

$-\frac{2}{27}x^{2}+\frac{22}{3}x-\frac{504}{9}+\frac{8}{9}=0$

$-\frac{2}{27}x^{2}+\frac{22}{3}x-\frac{496}{9}=0$

$-2x^{2}+198x-1488=0$

$x^{2}-99x+744=0$

$x=\frac{99\pm\sqrt{99^{2}-4\times744}}{2}$

$x=\frac{99\pm\sqrt{9801-2976}}{2}$

$x=\frac{99\pm\sqrt{6825}}{2}$

$x=\frac{99\pm15\sqrt{30.3}}{2}$

(場合2)点Pが辺CD上、点Qが辺AB上にあるとき

$CP= 7a- \frac{1}{3}ax$

$BQ = 4a - \frac{2}{3}ax+10a =14a - \frac{2}{3}ax$

$\frac{1}{2}(7a-\frac{1}{3}ax)(14a-\frac{2}{3}ax)=\frac{4}{9}a^{2}$

$\frac{49}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{33}{2} \le x \le 21$

(2) $x = 16$

(3) 計算中