長方形ABCDがあり、$AB = 4a, BC = 3a$（$a > 0$）である。点PとQは頂点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。Pは毎秒 $\frac{1}{3}a$ の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。 (1) 出発してから$x$秒後に点P, Qがともに辺BC上（両端を含む）にあるような$x$の値の範囲を求めよ。 (2) 出発してから$x$秒後に点Pが辺AB上（両端を含む）に、点Qが辺BC上（両端を含む）にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$ となるような$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 4a, BC = 3a$（$a > 0$）である。点PとQは頂点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。Pは毎秒 $\frac{1}{3}a$ の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。

(1) 出発してから$x$秒後に点P, Qがともに辺BC上（両端を含む）にあるような$x$の値の範囲を求めよ。

(2) 出発してから$x$秒後に点Pが辺AB上（両端を含む）に、点Qが辺BC上（両端を含む）にあるとき、三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$ となるような$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Pが辺BC上にある条件を考える。

PがAからBに着くまでの時間は $4a / (\frac{1}{3}a) = 12$ 秒。

PがBからCに着くまでの時間は $3a / (\frac{1}{3}a) = 9$ 秒。

したがって、PがBC上にあるのは $12 \le x \le 21$ のとき。

次に、点Qが辺BC上にある条件を考える。

QがAからDに着くまでの時間は $3a / (\frac{2}{3}a) = \frac{9}{2} = 4.5$ 秒。

QがDからCに着くまでの時間は $4a / (\frac{2}{3}a) = 6$ 秒。

QがCからBに着くまでの時間は $3a / (\frac{2}{3}a) = \frac{9}{2} = 4.5$ 秒。

したがって、QがBC上にあるのは $4.5 + 6 \le x \le 4.5+6+4.5$、つまり $10.5 \le x \le 15$ のとき。

PとQがともにBC上にあるのは、$12 \le x \le 21$ かつ $10.5 \le x \le 15$ のときなので、$12 \le x \le 15$。

(2)

Pが辺AB上にあるとき、$0 \le x \le 12$。

Pの位置は、$BP = 4a - \frac{1}{3}ax$ である。

Qが辺BC上にあるとき、$10.5 \le x \le 15$。

Qの位置は、$BQ = \frac{2}{3}a(x - 10.5) = \frac{2}{3}ax - 7a$ である。

三角形BPQの面積は、$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{1}{2} (4a - \frac{1}{3}ax) (\frac{2}{3}ax - 7a)$ である。これが $\frac{4}{9}a^2$ に等しいので、

$\frac{1}{2} (4a - \frac{1}{3}ax) (\frac{2}{3}ax - 7a) = \frac{4}{9}a^2$

$(4 - \frac{1}{3}x) (\frac{2}{3}x - 7) = \frac{8}{9}$

$(12 - x)(\frac{2}{3}x - 7) = 8$

$24x - 84 - 2x^2/3 + 7x = 8$

$-2x^2/3 + 31x - 92 = 0$

$2x^2 - 93x + 276 = 0$

$(2x - 3)(x-92) = 0$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$ または $x = 92$

$0 \le x \le 12$ かつ $10.5 \le x \le 15$ を満たすのは、存在しない。

しかし、上記の条件を考慮せずに計算してしまったので、もう一度計算し直す必要がある。

PがAB上にあり、QがBC上にあるのは、$0 \le x \le 12$ かつ $10.5 \le x \le 15$ のときなので、この2つの範囲に共通部分はない。したがって、そのような$x$は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $12 \le x \le 15$

(2) 存在しない