長方形ABCDにおいて、$AB = 4a$, $BC = 3a$である。点PとQは頂点Aを同時に出発する。Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さで$A \to B \to C$の順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さで$A \to D \to C \to B \to A$の順に一周し、点Aで止まる。 (2) 出発してから$x$秒後に点Pが辺AB上（両端を含む）にあり、点Qが辺BC上（両端を含む）にあるとき、$\triangle BPQ$の面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、$AB = 4a$, $BC = 3a$である。点PとQは頂点Aを同時に出発する。Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さで$A \to B \to C$の順に進み、点Cで止まる。Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さで$A \to D \to C \to B \to A$の順に一周し、点Aで止まる。

(2) 出発してから$x$秒後に点Pが辺AB上（両端を含む）にあり、点Qが辺BC上（両端を含む）にあるとき、$\triangle BPQ$の面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺AB上にある条件を考える。PはAからBまで$4a$の距離を$\frac{1}{3}a$の速さで進むので、かかる時間は$\frac{4a}{\frac{1}{3}a}=12$秒である。したがって、$0 \le x \le 12$となる。

次に、点Qが辺BC上にある条件を考える。Qは$A \to D \to C \to B$まで進む必要がある。AからDまで$3a$、DからCまで$4a$、CからBまで$3a$なので、合計の距離は$3a+4a+3a=10a$である。Qの速さは$\frac{2}{3}a$なので、かかる時間は$\frac{10a}{\frac{2}{3}a} = 15$秒である。したがって、$x \ge 15$である必要がある。

PがAB上に、QがBC上にある場合を考える。

$P$がAB上にあるとき、$AP = \frac{1}{3}ax$であるから、$BP = 4a - \frac{1}{3}ax$となる。

$Q$がBC上にあるとき、$AQ$までの距離は、$3a+4a+3a+(\frac{2}{3}ax-10a)$

$DQ$までの距離は$AD+DC+CQ=3a+4a+CQ=7a+CQ$

$Q$がBC上にあるから、進んだ距離は$AD+DC+CQ=3a+4a+CQ=7a+CQ$

$AQ = \frac{2}{3}ax$なので、$CQ = \frac{2}{3}ax-(3a+4a)=\frac{2}{3}ax - 7a$となる。

$BC = 3a$なので、$BQ = 3a - (\frac{2}{3}ax - 7a) = 10a - \frac{2}{3}ax$となる。

$\triangle BPQ = \frac{1}{2} BP \cdot BQ = \frac{1}{2} (4a - \frac{1}{3}ax)(10a - \frac{2}{3}ax)$

$\frac{1}{2} (4a - \frac{1}{3}ax)(10a - \frac{2}{3}ax) = \frac{4}{9}a^2$

$(4 - \frac{1}{3}x)(10 - \frac{2}{3}x) = \frac{8}{9}a$

$(12 - x)(30 - 2x) = 8a$

$360 - 24x - 30x + 2x^2 = 8a$

$2x^2 - 54x + 360 = 8$

$x^2 - 27x + 180 = 4$

$x^2 - 27x + 176 = 0$

$(x-8)(x-22) = 0$

$x = 8, 22$

$0 \le x \le 12$ と $x \ge 15$を満たすのは$x = 22$。

$\triangle BPQ = \frac{4}{9} a^2$

3. 最終的な答え

$x = 22$