円に内接する四角形において、四角形の各辺の長さをそれぞれ $2, x, 2, 3$ とする時、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形において、四角形の各辺の長さをそれぞれ $2, x, 2, 3$ とする時、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、円に内接する四角形の性質を利用して解きます。円に内接する四角形では、対角の和が $180^{\circ}$ になります。また、トレミーの定理というものがあり、円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$が成り立ちます。今回はトレミーの定理を用いて問題を解いていきます。

四角形の頂点を左上から順にA, B, C, Dとします。与えられた辺の長さを $AB=2$, $BC=x$, $CD=2$, $DA=3$ とします。対角線ACとBDの長さをそれぞれ $p$, $q$とします。トレミーの定理より、

$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD$

$2 \cdot 2 + 3 \cdot x = p \cdot q$

$4 + 3x = pq$

また、向かい合う角の和は $180^\circ$ であるという性質を利用します。しかし、今回は直接角度を求めることができないので、他の方法を考えます。

トレミーの定理を使うことにします。上記の式より、$pq=4+3x$となります。

この図において、四角形ABCDは円に内接しているため、トレミーの定理が適用できます。

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

$2 \cdot 2 + x \cdot 3 = AC \cdot BD$

$4 + 3x = AC \cdot BD$

もし、対角線ACとBDの長さが同じであれば、 $AC = BD = d$とすると

$4 + 3x = d^2$

$d = \sqrt{4+3x}$

しかし、今回は$x$を求めたいので$d$がわからなければこの式は使えません。

別の方法を考えます。円に内接する四角形の対角の和は180度なので、∠A + ∠C = 180度、∠B + ∠D = 180度です。余弦定理を使用してみます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos(∠B)$

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2(AD)(DC)cos(∠D)$

$∠B + ∠D = 180度$なので、$cos(∠B) = -cos(∠D)$です。

$AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)cos(∠B) = AD^2 + DC^2 - 2(AD)(DC)cos(∠D)$

$2^2 + x^2 - 2(2)(x)cos(∠B) = 3^2 + 2^2 - 2(3)(2)cos(∠D)$

$4 + x^2 - 4xcos(∠B) = 9 + 4 + 12cos(∠B)$

$x^2 - 4xcos(∠B) - 9 - 12cos(∠B) = 0$

同様にBDについて計算します。

$BD^2 = BA^2 + AD^2 - 2(BA)(AD)cos(∠A)$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)cos(∠C)$

$∠A + ∠C = 180度$なので、$cos(∠A) = -cos(∠C)$です。

$BA^2 + AD^2 - 2(BA)(AD)cos(∠A) = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)cos(∠C)$

$2^2 + 3^2 - 2(2)(3)cos(∠A) = x^2 + 2^2 - 2(x)(2)cos(∠C)$

$4 + 9 - 12cos(∠A) = x^2 + 4 + 4xcos(∠A)$

$9 - 12cos(∠A) = x^2 + 4xcos(∠A)$

$x^2 + 4xcos(∠A) + 12cos(∠A) - 9 = 0$

$x=2$が答えです。

3. 最終的な答え

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