長方形ABCDがあり、$AB=4a$、$BC=3a$である。点Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に進み、点Aで止まる。問題は以下の通り： (2)出発してからx秒後に点Pが辺AB上（両端を含む）に、点Qが辺BC上（両端を含む）にあるとき、$\triangle BPQ$の面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB=4a$、$BC=3a$である。点Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に進み、点Aで止まる。問題は以下の通り：

(2)出発してからx秒後に点Pが辺AB上（両端を含む）に、点Qが辺BC上（両端を含む）にあるとき、$\triangle BPQ$の面積が$\frac{4}{9}a^2$となるようなxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺AB上にある条件を考える。点PがAからBまでにかかる時間は$4a / (\frac{1}{3}a) = 12$秒なので、$0 \le x \le 12$である。

次に、点Qが辺BC上にある条件を考える。点QがAからDまでにかかる時間は$3a / (\frac{2}{3}a) = \frac{9}{2} = 4.5$秒。DからCまでにかかる時間は$4a / (\frac{2}{3}a) = 6$秒。CからBまでにかかる時間は$3a / (\frac{2}{3}a) = \frac{9}{2} = 4.5$秒。したがって、点Qが辺BC上にあるのは、$4.5+6=10.5$秒後から$4.5+6+4.5=15$秒後の間である。つまり、$10.5 \le x \le 15$である。

したがって、求めるxの範囲は、$10.5 \le x \le 12$である。

点PがAB上にあるとき、$BP = AB - AP = 4a - \frac{1}{3}ax = (4 - \frac{x}{3})a$

点QがBC上にあるとき、$BQ = BC - CQ$である。$CQ = \frac{2}{3}a(x - \frac{9}{2}) = \frac{2}{3}ax - 3a$なので、$BQ = 3a - (\frac{2}{3}ax - 3a) = 6a - \frac{2}{3}ax = (6 - \frac{2x}{3})a$。

$\triangle BPQ = \frac{1}{2} BP \cdot BQ = \frac{1}{2} (4 - \frac{x}{3})a \cdot (6 - \frac{2x}{3})a = \frac{1}{2} (24 - \frac{8x}{3} - 2x + \frac{2x^2}{9}) a^2 = (12 - \frac{7x}{3} + \frac{x^2}{9}) a^2$

$\triangle BPQ = \frac{4}{9}a^2$なので、

$12 - \frac{7x}{3} + \frac{x^2}{9} = \frac{4}{9}$

$108 - 21x + x^2 = 4$

$x^2 - 21x + 104 = 0$

$(x - 8)(x - 13) = 0$

$x = 8, 13$

$10.5 \le x \le 12$の条件より、x=13は不適なので、$x=8$はありえない。ただし、x=8は$0 \le x \le 12$を満たす。

$x=8$のとき、点Qの位置を再検討する。$8 < \frac{9}{2}$なので、点QはまだAD上にいる。そのため題意を満たさない。

$x = 13$のとき、$10.5 \le x \le 15$を満たしている。したがって、$x=13$は点QがBC上に存在することを示す。点Pは$0 \le x \le 12$を満たしているので、AB上にいる。

ただし、これは$10.5 \le x \le 12$を満たしていないので答えではない。

x=8は不適で、x=13も条件を満たしていないので、$\frac{4}{9}a^2$にはならない。

3. 最終的な答え

該当するxの値は存在しない。