長方形ABCDがあり、$AB=4a$, $BC=3a$ ($a>0$) である。点PとQはそれぞれ点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。点Pは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さで A→B→C の順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さで A→D→C→B→A の順に一周し、点Aで止まる。 (1)出発してから $x$ 秒後に点P, Qがともに辺BC上(両端を含む)にあるような $x$ の値の範囲を求める。 (2)出発してから $x$ 秒後に点Pが辺AB上(両端を含む)に、点Qが辺BC上(両端を含む)にあるとき、$\triangle BPQ$ の面積が $\frac{4}{9}a^2$ となるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB=4a$, $BC=3a$ ($a>0$) である。点PとQはそれぞれ点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。点Pは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さで A→B→C の順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒 $\frac{2}{3}a$ の速さで A→D→C→B→A の順に一周し、点Aで止まる。

(1)出発してから $x$ 秒後に点P, Qがともに辺BC上(両端を含む)にあるような $x$ の値の範囲を求める。

(2)出発してから $x$ 秒後に点Pが辺AB上(両端を含む)に、点Qが辺BC上(両端を含む)にあるとき、$\triangle BPQ$ の面積が $\frac{4}{9}a^2$ となるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが辺BC上にあるのは、AからBまでにかかる時間 $4a \div \frac{1}{3}a = 12$ 秒後から、A→B→Cまでにかかる時間 $4a + 3a = 7a$ で、 $7a \div \frac{1}{3}a = 21$ 秒後の間である。よって、$12 \le x \le 21$ 。

点Qが辺BC上にあるのは、A→D→Cまでにかかる時間 $4a + 3a = 7a$ で、$7a \div \frac{2}{3}a = \frac{21}{2}$ 秒後から、A→D→C→Bまでにかかる時間 $4a + 3a + 4a = 11a$ で、$11a \div \frac{2}{3}a = \frac{33}{2}$ 秒後の間である。よって、$\frac{21}{2} \le x \le \frac{33}{2}$ 。

PとQがともにBC上にあるのは、$12 \le x \le 21$ かつ $\frac{21}{2} \le x \le \frac{33}{2}$ を満たすとき。$\frac{21}{2} = 10.5$, $\frac{33}{2} = 16.5$ なので、$12 \le x \le 21$ と $10.5 \le x \le 16.5$ を満たす範囲は、$12 \le x \le 16.5$。

(2)

点Pが辺AB上にあるのは、AからPまで $0 \le x \le 12$ 。点Qが辺BC上にあるのは、$\frac{21}{2} \le x \le \frac{33}{2}$ 。

$\frac{21}{2} \le x \le \frac{33}{2}$ の時、点QはBC上にあり、点PはAB上にあるから $BP=4a - \frac{1}{3}a x$。$BQ = \frac{2}{3}a x -4a -3a= \frac{2}{3}ax -7a$

$\triangle BPQ = \frac{1}{2} \times BP \times BQ = \frac{1}{2} \times (4a - \frac{1}{3}ax) \times (\frac{2}{3}ax - 7a)$

$\frac{1}{2} \times (4a - \frac{1}{3}ax) \times (\frac{2}{3}ax - 7a) = \frac{4}{9}a^2$

3. 最終的な答え

(1) $12 \le x \le 16.5$

(2) 解答できません。