長方形ABCDがあり、$AB=4a$, $BC=3a$ ($a>0$)である。点Pと点Qは頂点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。点Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。このとき、出発してから$x$秒後に三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求めよ。ただし、点Pは辺AB上にあり（両端を含む）、点Qは辺BC上にある（両端を含む）とする。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB=4a$, $BC=3a$ ($a>0$)である。点Pと点Qは頂点Aを同時に出発し、長方形の周上を動く。点Pは毎秒$\frac{1}{3}a$の速さでA→B→Cの順に進み、点Cで止まる。点Qは毎秒$\frac{2}{3}a$の速さでA→D→C→B→Aの順に一周し、点Aで止まる。このとき、出発してから$x$秒後に三角形BPQの面積が$\frac{4}{9}a^2$となるような$x$の値を求めよ。ただし、点Pは辺AB上にあり（両端を含む）、点Qは辺BC上にある（両端を含む）とする。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺AB上にある条件を求める。点PがAからBまでにかかる時間は、

$\frac{4a}{\frac{1}{3}a} = 12$ (秒)。したがって、$0 \le x \le 12$である。

次に、点Qが辺BC上にある条件を求める。点QがA→D→C→Bと移動するので、AからD、DからCまでにかかる時間を考えると、

$\frac{3a}{\frac{2}{3}a} + \frac{4a}{\frac{2}{3}a} = \frac{9}{2} + 6 = \frac{21}{2}$ (秒)

点QがCからBまでにかかる時間を考えると、

$\frac{3a}{\frac{2}{3}a} = \frac{9}{2}$ (秒)

したがって、点Qが辺BC上にあるのは、$\frac{21}{2} \le x \le \frac{21}{2} + \frac{9}{2} = \frac{30}{2} = 15$である。

したがって、点Pが辺AB上にあり、点Qが辺BC上にあるのは、$x$が以下の条件を満たすときである。

$0 \le x \le 12$

$\frac{21}{2} \le x \le 15$

この2つの条件を同時に満たす$x$は存在しない。したがって、このような状況は起こりえない。

問題文の条件を満たす状況がないので、三角形BPQの面積を求めることはできない。

しかし、問題文の意図はおそらく、$10.5 \le x \le 12$において面積が$\frac{4}{9}a^2$になる$x$を求めることだろう。この範囲で考えることにする。

このとき、BPの長さは$4a - \frac{1}{3}a x$であり、BQの長さは$\frac{2}{3}a x - 7a$である。

したがって、三角形BPQの面積は、

$\frac{1}{2} \times (4a - \frac{1}{3}a x) \times (\frac{2}{3}a x - 7a) = \frac{1}{2}a^2 (4 - \frac{1}{3}x) (\frac{2}{3}x - 7) = \frac{4}{9}a^2$

$(4 - \frac{1}{3}x) (\frac{2}{3}x - 7) = \frac{8}{9}$

$8x/3 - 28 - 2x^2/9 + 7x/3 = 8/9$

$15x/3 - 28 - 2x^2/9 = 8/9$

$5x - 28 - 2x^2/9 = 8/9$

$45x - 252 - 2x^2 = 8$

$2x^2 - 45x + 260 = 0$

$x = \frac{45 \pm \sqrt{45^2 - 4 \times 2 \times 260}}{4} = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 2080}}{4} = \frac{45 \pm \sqrt{-55}}{4}$

解は複素数になってしまう。問題設定がおかしい。

3. 最終的な答え

問題の設定に誤りがあるため、解なし。