問題8では、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で、以下の2つの不等式を満たす $\theta$ の範囲を求めます。 (1) $\cos \theta > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\tan \theta \geqq -1$

1. 問題の内容

問題8では、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ の範囲で、以下の2つの不等式を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

(1) $\cos \theta > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\tan \theta \geqq -1$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ の場合

まず、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。単位円を考えると、$\theta = 150^\circ$ です。$\cos \theta$ は $0^\circ$ から $180^\circ$ の範囲で減少関数なので、$\cos \theta > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta < 150^\circ$ のときです。また、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ という条件があるので、$0^\circ \leqq \theta < 150^\circ$ となります。

(2) $\tan \theta \geqq -1$ の場合

まず、$\tan \theta = -1$ となる $\theta$ を求めます。単位円を考えると、$\theta = 135^\circ$ です。$\tan \theta$ は $0^\circ$ から $90^\circ$ までは増加し、$90^\circ$ で定義されず、$90^\circ$ から $180^\circ$ までは増加します。$\tan \theta \geqq -1$ となるのは、$\theta \geqq 135^\circ$ または $\theta < 90^\circ$ のときです。また、$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ かつ $\theta \neq 90^\circ$ という条件があるので、$0^\circ \leqq \theta < 90^\circ$ または $135^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $0^\circ \leqq \theta < 150^\circ$

(2) $0^\circ \leqq \theta < 90^\circ$ または $135^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$