一辺の長さが1の正八角形$ABCDEFGH$がある。直線$AD$と$BF$の交点を$I$とするとき、四角形$AIGH$の面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正八角形$ABCDEFGH$がある。直線$AD$と$BF$の交点を$I$とするとき、四角形$AIGH$の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

正八角形の一つの内角は $\frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = 135^\circ$ である。

$\angle ABC = \angle BCD = 135^\circ$ である。

$AB=BC=1$であるから、$\triangle ABC$において$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 135^\circ}{2} = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$ である。

$\angle ABF = 135^\circ$であるから、$\angle CBF = 135^\circ - \angle ABC = 135^\circ - 22.5^\circ = 112.5^\circ$ である。

$\angle BFA = \angle BAF$である。

四角形$AIGH$の面積を求める。

正八角形なので、$AH=GH=1$。

$\angle AHG = 135^\circ$ である。

$\angle IAH = \angle IGH$

$AI = GI$ である。

$\angle ADH = \angle ADE = 135^\circ$

$AD$と$BF$の交点が$I$である。

$\angle BAD = 135^\circ$

正八角形を考えるとき、正方形から四隅の三角形を切り取った図形と考えることができる。

正八角形の一辺を1とすると、正方形の一辺は $1 + 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$ となる。

$\triangle ABI$において、$\angle BAI = \angle ABI = \frac{180 - 90}{2} = 45^\circ$.

$AI = \sqrt{2}$ である。

四角形$AIGH$は台形であり、$AH=1$, $GI = \sqrt{2}$。

$\angle HAG = 45^\circ$, $\angle AGI = 45^\circ$.

高さは $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

よって、四角形$AIGH$の面積は$\frac{AH+GI}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+2}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$AH=1$, $GI=\sqrt{2}$.

$\angle IAH = \frac{360^\circ - 135^\circ - 90^\circ}{2} = \frac{135^\circ}{2}$.

台形AIGHの面積は$\frac{1}{2}(AH+GI) \times \text{高さ} = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$.

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$