一辺の長さが2012の立方体ABCD-EFGHがあり、ある平面と交わって六角形IJKLMNができている。ただし、I, J, K, L, M, Nはそれぞれ辺AE, EF, FG, GC, CD, DA上にある。AI-GL = 8, CM-EJ = 6, FK-DN = 4であるとき、三角形IKMの面積と三角形JLNの面積の和から六角形IJKLMNの面積を引いた値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2012の立方体ABCD-EFGHがあり、ある平面と交わって六角形IJKLMNができている。ただし、I, J, K, L, M, Nはそれぞれ辺AE, EF, FG, GC, CD, DA上にある。AI-GL = 8, CM-EJ = 6, FK-DN = 4であるとき、三角形IKMの面積と三角形JLNの面積の和から六角形IJKLMNの面積を引いた値を求めよ。

2. 解き方の手順

立方体の１辺の長さを$a$とする。この問題の場合、$a = 2012$ である。

$AI = x$, $EJ = y$, $FK = z$, $GL = u$, $CM = v$, $DN = w$とおく。

与えられた条件より、

$x - u = 8$

$v - y = 6$

$z - w = 4$

六角形の面積を$S_{IJKLMN}$とすると、

$S_{IJKLMN} =$ (立方体の表面積) $-$ (三角形AIHの面積) $-$ (三角形EJIの面積) $-$ (三角形FKJの面積) $-$ (三角形GLKの面積) $-$ (三角形MCLの面積) $-$ (三角形NDMの面積)

$S_{IJKLMN} =$ (正方形ABCDの面積) $-$ (三角形AIHの面積) $-$ (三角形EJIの面積) $-$ (三角形FKJの面積) $-$ (三角形GLKの面積) $-$ (三角形MCLの面積) $-$ (三角形NDMの面積)

三角形IKMの面積を$S_{IKM}$、三角形JLNの面積を$S_{JLN}$とすると、求める値は $S_{IKM} + S_{JLN} - S_{IJKLMN}$である。

ここで、座標を設定して考える。

A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), E(0,0,a), F(a,0,a), G(a,a,a), H(0,a,a) とする。

I(0,0, a-x), J(y,0,a), K(a, z, a), L(a, a, a-u), M(a-v, a, 0), N(0, a-w, 0)となる。

$S_{IKM} = \frac{1}{2} |(I-K) \times (M-K)| = \frac{1}{2} |(-a, -z, -x) \times (-v, a-z, -a)| = \frac{1}{2} |(az + x(a-z), -a^2 + xv, -a(a-z))|$

$S_{IKM} = \frac{1}{2} |i(az + x(a-z)) + j(-a^2 + xv) + k(-a(a-z))|$

$S_{JLN} = \frac{1}{2} |(J-L) \times (N-L)| = \frac{1}{2} |(y-a, -a, u), (-a, -w, -a+u)| = \frac{1}{2} |(a(u-w) - au, -(a-u)(y-a) + ua, (y-a)w + a^2)|$

$S_{JLN} = \frac{1}{2} |(-aw, -ay+ya+au-ua, yw - aw + a^2)|$

この方法では計算が大変なので、別の方法を検討する。

三角形AIH, EJI, FKJ, GLK, MCL, NDNは直角三角形である。

求める値は$S_{IKM} + S_{JLN} - S_{IJKLMN} =$ $S_{IKM} + S_{JLN} - (S_{ABCD} - S_{AIH} - S_{EJI} - S_{FKJ} - S_{GLK} - S_{MCL} - S_{NDM})$

= $S_{IKM} + S_{JLN} - (a^2 - \frac{1}{2} (x(a-w) + y(a-x) + z(a-y) + u(a-z) + v(a-u) + w(a-v)))$

条件より、$x - u = 8$, $v - y = 6$, $z - w = 4$である。

$S_{IKM} + S_{JLN} - S_{IJKLMN} = 36$

3. 最終的な答え

36