PQ // BCであるとき、次の図のそれぞれについて $x$ の値を求めます。 (1) $\triangle ABC$ において、AP = 3, PB = 9, AQ = $x$, QC = 12であるとき、$x$を求めます。 (2) $\triangle ABC$ において、AP = 8, PB = 4, AQ = $x$, QC = 3であるとき、$x$を求めます。

1. 問題の内容

PQ // BCであるとき、次の図のそれぞれについて $x$ の値を求めます。

(1) $\triangle ABC$ において、AP = 3, PB = 9, AQ = $x$, QC = 12であるとき、$x$を求めます。

(2) $\triangle ABC$ において、AP = 8, PB = 4, AQ = $x$, QC = 3であるとき、$x$を求めます。

2. 解き方の手順

三角形の相似を利用します。PQ // BC であることから、$\triangle APQ$ と $\triangle ABC$ は相似です。したがって、対応する辺の比は等しくなります。

(1) $\triangle APQ \sim \triangle ABC$ なので、

$$AP : AB = AQ : AC$$

$AP = 3$, $AB = AP + PB = 3 + 9 = 12$, $AQ = x$, $AC = AQ + QC = x + 12$ であるから、

$$3 : 12 = x : (x+12)$$

$$3(x+12) = 12x$$

$$3x + 36 = 12x$$

$$9x = 36$$

$$x = 4$$

(2) $\triangle APQ \sim \triangle ABC$ なので、

$$AP : AB = AQ : AC$$

$AP = 8$, $AB = AP + PB = 8 + 4 = 12$, $AQ = x$, $AC = AQ + QC = x + 3$ であるから、

$$8 : 12 = x : (x+3)$$

$$8(x+3) = 12x$$

$$8x + 24 = 12x$$

$$4x = 24$$

$$x = 6$$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $x = 6$