三角形ABCにおいて、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがあります。線分AP、BQ、CRは一点Oで交わっています。$AQ:QC = 2:3$、$BP:PC = 2:1$であるとき、$AR:RB$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがあります。線分AP、BQ、CRは一点Oで交わっています。$AQ:QC = 2:3$、$BP:PC = 2:1$であるとき、$AR:RB$を求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理を利用します。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがあるとき、AP、BQ、CRが一点で交わるならば、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つという定理です。

与えられた条件$AQ:QC=2:3$より、$CQ:QA = 3:2$。

また、$BP:PC=2:1$。

求める$AR:RB$を$x:y$とすると、$\frac{AR}{RB} = \frac{x}{y}$。

これらをチェバの定理に代入すると、

$\frac{x}{y} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{3x}{y} = 1$

$3x = y$

$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$

したがって、$AR:RB = 1:3$。

3. 最終的な答え

$AR:RB = 1:3$