三角形ABCの辺BC, CA, AB上に点P, Q, Rがあり、P, Q, Rは同一直線上にある。 AR:RB = 1:3, BC:CP = 2:1のとき、CQ:QAを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BC, CA, AB上に点P, Q, Rがあり、P, Q, Rは同一直線上にある。

AR:RB = 1:3, BC:CP = 2:1のとき、CQ:QAを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を利用して解きます。

メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、直線が辺BC, CA, AB（またはその延長）とそれぞれ点P, Q, Rで交わるとき、以下の式が成り立つというものです。

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

問題文より、AR:RB = 1:3, BC:CP = 2:1 であるので、BP:PCを求めます。

BC:CP = 2:1より、BC = 2k, CP = k とおくと、BP = BC + CP = 2k + k = 3k となります。

よって、BP:PC = 3k:k = 3:1 です。

AR:RB = 1:3より、$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$、BP:PC = 3:1より、$\frac{BP}{PC} = 3$です。

メネラウスの定理にこれらの値を代入すると、

$$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$$\frac{CQ}{QA} = 1$$

3. 最終的な答え

CQ:QA = 1:1