与えられた図形の問題を解きます。具体的には、以下の問題に答えます。 (2) 図において、$AB=2$, $BC=4$, $CA=3$であるとき、$\triangle ABC$の$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とするとき、$BD$を求めます。 (3) 円に内接する四角形$ABCD$において、$\angle BAD = 125^\circ$のとき、$\angle BCD$を求めます。 (4) 円周上に4点$A$, $B$, $C$, $D$があり、線分$AB$, $CD$の交点を$P$とします。$PA=4$, $PB=6$, $PC=3$であるとき、$PD$を求めます。 (5) $\triangle ABC$の外接円が点$A$で直線$TT'$に接しています。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle T'AB = 60^\circ$であるとき、$\angle ABC$を求めます。 (6) 半径が4cmと3cmの2つの円が外接するとき、2つの円の中心間の距離を求めます。

1. 問題の内容

与えられた図形の問題を解きます。具体的には、以下の問題に答えます。

(2) 図において、$AB=2$, $BC=4$, $CA=3$であるとき、$\triangle ABC$の$\angle A$の二等分線と辺$BC$の交点を$D$とするとき、$BD$を求めます。

(3) 円に内接する四角形$ABCD$において、$\angle BAD = 125^\circ$のとき、$\angle BCD$を求めます。

(4) 円周上に4点$A$, $B$, $C$, $D$があり、線分$AB$, $CD$の交点を$P$とします。$PA=4$, $PB=6$, $PC=3$であるとき、$PD$を求めます。

(5) $\triangle ABC$の外接円が点$A$で直線$TT'$に接しています。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle T'AB = 60^\circ$であるとき、$\angle ABC$を求めます。

(6) 半径が4cmと3cmの2つの円が外接するとき、2つの円の中心間の距離を求めます。

2. 解き方の手順

(2) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 2:3$です。$BC = 4$なので、$BD = \frac{2}{2+3} \times 4 = \frac{2}{5} \times 4 = \frac{8}{5} = 1.6$です。

(3) 円に内接する四角形の対角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$です。したがって、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$です。

(4) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立ちます。したがって、$4 \times 6 = 3 \times PD$なので、$24 = 3 \times PD$となり、$PD = \frac{24}{3} = 8$です。

(5) 接弦定理より、$\angle ABC = \angle T'AB = 60^\circ$です。

(6) 2つの円が外接するとき、中心間の距離は半径の和に等しいです。したがって、中心間の距離は$4 + 3 = 7$cmです。

3. 最終的な答え

(2) $BD = 1.6$

(3) $\angle BCD = 55^\circ$

(4) $PD = 8$

(5) $\angle ABC = 60^\circ$

(6) 7 cm