直線 $y = 3x - 1$ に関して、点 $(2, 1)$ と対称な点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 3x - 1$ に関して、点 $(2, 1)$ と対称な点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

対称な点の座標を $(a, b)$ とします。

ステップ1：線分の中点が直線 $y = 3x - 1$ 上にある条件

点 $(2, 1)$ と点 $(a, b)$ の中点は $\left(\frac{2+a}{2}, \frac{1+b}{2}\right)$ です。

この中点が直線 $y = 3x - 1$ 上にあるので、

$$\frac{1+b}{2} = 3\left(\frac{2+a}{2}\right) - 1$$

$$1+b = 3(2+a) - 2$$

$$1+b = 6+3a - 2$$

$$b = 3a + 3$$

ステップ2：線分と直線が垂直に交わる条件

点 $(2, 1)$ と点 $(a, b)$ を結ぶ線分の傾きは $\frac{b-1}{a-2}$ です。

直線 $y = 3x - 1$ の傾きは $3$ です。

線分と直線が垂直に交わるので、

$$\frac{b-1}{a-2} \times 3 = -1$$

$$3(b-1) = - (a-2)$$

$$3b-3 = -a+2$$

$$3b = -a+5$$

ステップ3：連立方程式を解く

$b = 3a + 3$ と $3b = -a+5$ の連立方程式を解きます。

$3b = 3(3a+3) = 9a+9$

$9a+9 = -a+5$

$10a = -4$

$a = -\frac{2}{5}$

$b = 3\left(-\frac{2}{5}\right) + 3 = -\frac{6}{5} + \frac{15}{5} = \frac{9}{5}$

3. 最終的な答え

対称な点の座標は $\left(-\frac{2}{5}, \frac{9}{5}\right)$ です。